Построение разверток

Разверткой поверхности на­зывают плоскую фигуру, получаемую при совмещении поверхности с плоскостью.

Развертывание конической и цилиндрической поверхностей в общем случае производится по схе­ме развертывания соответственно пирамиды и призмы. Разверткой боковой поверхности прямой призмы и прямого кругового цилиндра

является прямоугольник, одна сто­рона которого есть высота, а другая длина ломаной линии основания призмы или окружности основания цилиндра, которую можно заменить вписанным многоугольником.

Развертка пирамидальных и конических поверхностей строят способом триангуляции. Построение разверток этих сводится к многократному построению натуральных величин треугольников, из которых состоит развертываемая поверхность пирамиды или конуса, ко­торый заменяется поверхностью вписанной многогранной пирамидой. «Разрезать» боковую поверхность следует по образующей или по ребру, на которых находится наинизшая точка сечения.

Пример построения развертки пирамиды

Построить развертку усеченной части.

Чтобы построить развертку боковой поверхности пирамиды необходимо построить три грани в натуральную величину.

Рис.14

Так основание пирамиды (Рис.13) является плоскостью уровня, то мы не ищем нату­ральную величину основания. Поэтому остается определить натуральные величины боковых ребер пирамиды. Определяем натуральные величины ребер способом замены плоскостей проек­ций. На натуральных величинах ребер опре­деляем также положе­ние точек А, В, С, D, Е, F. Сначала строим пол­ную натуральную вели­чину граней и боковой поверхности пирамиды (Рис.14), а затем на ней находим по положению точек линию сечения. К боковой поверхности усеченной части при­страиваем основание, а затем истинный вид се­чения, который опреде­лили способом замены плоскостей проекций. Обводится только раз­вертка усеченной части, остальные линии оста­ются тонкими. Анало­гично строится разверт­ка конуса.

Лист 3

Задание: Построить линии пересечения пирамиды ABCD и призмы EKGU.

По данным координатам точек A, B, C, D построить проекции пирамиды, у которой основанием является треугольник ABC, а вершиной – точка D. Горизонтальные проекции точек A₁, B₁, C₁ соединяем и получаем основание пирамиды. Соединив эти точки с вершиной D₁, получаем горизонтальную проекцию пирамиды.

По данным координатам точек E, K, G, U строим проекции четырехгранной призмы. При построении проекции следует обратить внимание на то, что одно основание призмы принадлежит горизонтальной плоскости проекции. Поэтому фронтальные проекции точек E₂, K₂, G₂, U₂ находятся на оси Х, а затем с учетом высоты призмы (80 – 85 мм), откладывая длину каждого ребра, находим верхнее основание призмы. Ребра и грани данной призмы являются проецирующими, т.к. перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций, а потому горизонтальная проекция призмы – есть четырехугольник E₁K₁G₁U_1,, являющийся вырожденной проекцией ребер и граней призмы.

Горизонтальная проекция призмы обладает собирательным свойством, поэтому и точки пересечения ребер с гранями пирамиды и точки пересечения ребер пирамиды с гранями призмы имеются на указанной проекции.

Рассмотрим построение линии пересечения поверхностей призмы и пирамиды. Рассмотрим пересечение ребер пирамиды D₁B₁, D₁A₁, D₁C₁ с гранью призмы Δ₁¹ (G₁U₁G₁¹U₁¹)

1.1.

1.2.

Аналогично:

2.1.

2.2.

Рассмотрим пересечение ребра призмы Е₂ с двумя гранями пирамиды:

3.1.

3.2.

3.3.

Рис. 15.

Остается соединить полученные точки, точку 5₂ c точками 6₂ и 4₂, точку 4₂ с точкой 8₂, точки 6₂ и 8₂ с точкой 7₂ - замкнутая ломаная линия.

Соединив точки 1₂, 3₂, 2₂ получаем треугольник. Теперь необходимо определить видимость.

Лист 4

Задание: Построить проекции линии пересечения двух тел.

При пересечении поверхности вращения проецирующей поверхностью их общим геометрическим элементом является некоторая линия.

Рассмотрим построение этой линии на примере решения задачи о пересечении прямого кругового цилиндра и сферы.

Рис.16

Поскольку боковая поверхность цилиндра перпендикулярны к П₁, то горизонтальная проекция линии пересечения цилиндра и сферы совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра.

Остается построить фронтальную проекцию линии пересечения. Задача сводится к построению линии на поверхности сферы, для этого применим метод вспомогательных секущих плоскостей, в качестве которых выберем фронтальные плоскости уровня, проходящие через точки, лежащие на линии пересечения цилиндра и сферы. Их горизонтальные проекции 1₁, 2₁, 3₁, 4₁, 2´₁, 3´₁, 4´₁, указаны на рис. 16.

Линией пересечения фронтальной плоскости уровня со сферой является окружность, для построения которой на П₂ достаточно измерить расстояние от вертикальной оси до контура сферы на П_1, а затем этим радиусом на П₂ провести окружность.

Соединив точки 1₂, 2₂, 3₂, 4₂ получаем один из участков искомой линии пересечения.

В связи с тем, что рассматриваемые поверхности симметричны относительно фронтальной плоскости уровня, искомая линия пересечения состоит из двух участков видимого и невидимого, которые при проецировании на плоскость проекции П₂ совпадают.

Лист 5

Задание: Построить третье изображение детали, дать разрезы, а также изображение детали в аксонометрических проекциях.