§ 11. Проведение наилучшей прямой аналитическим методом

Параметры наилучшей прямой можно определить не только графически, но и аналитически. Приведем соответствующие формулы. Пусть при значениях х_i одной физической величины получены значения у_i для другой величины (i=1, 2, ..., п). Наилучшая прямая (20) определяется по правилу «наименьших квадратов», т. е. параметрам а и b приписываются такие значения, при которых величина

(23)

имеет минимум. При этом получаются следующие формулы для нахождения наилучших значений а и b по измеренным: значениям х_i, у_i (i = 1, 2,..., п):

, , (24)

где

, , ,

, (25)

При расчетах следует помнить, что в числителе первой формулы обычно вычитаются близкие по величине члены, что вызывает необходимость удерживать при вычислениях много значащих цифр.

Приведем формулу для определения параметра k: прямой (19), проходящей через начало координат:

. (26)

Укажем, наконец, формулы для оценки погрешностей параметров а, b и k:

, , , (27)

Входящая в формулы (27) дисперсия D(x) определяется по формуле (25). Аналогичным образом вычисляется и D(y).

§ 12. Пример графической обработки экспериментальных данных

Поясним изложенное с помощью простого примера.

П усть рис. 7 и 8 (они содержат один и тот же набор экспериментальных точек) изображают результаты исследования вольтамперной характеристики образца на установке, изображенной на рис. 9. Сила тока, проходящего через образец, измеряется миллиамперметром тА (полная шкала 150 мА, класс точности 0,5), а напряжение на нем – вольтметром V (полная шкала 15 В, класс точности 2). Сила тока регулируется резистором R. По оси абсцисс отложена сила тока в миллиамперах, а по оси ординат – напряжение в вольтах. Рассмотрев распределение точек на рисунках, мы видим, что экспериментальные данные в рассматриваемом диапазоне токов и напряжений (10 мА ≤ I ≤ 150 мА, 3 В≤ V ≤ 11 В) хорошо ложатся на прямую линию

V=a+bI.

Чтобы найти параметры этой прямой, заметим, что ее продолжение .пересекает ось ординат при напряжении 2,1 В. Ток 150 мА достигается при напряжении 10,9 В. Поэтому

a = 2,1 В, b = (10,9-2,1)/0,150 = 58,7 В/А.

Найдем погрешность указанных значений. В соответствии-с правилом, указанным в тексте, следующем за формулой (20), проведем на рис. 7 две прямые, параллельные основной прямой и обладающие тем свойством, что по одну сторону каждой из них лежит вдвое больше экспериментальных точек, чем по другую,– эти прямые на рис. 7 проведены пунктиром. Расстояние между прямыми Δа = 0,3 В. Полное число точек на графике составляет 29. По формуле (21) найдем, что погрешность в определении а равна

σ_a = Δа/ = 0,3/ =0,06 В.

К этой погрешности нужно прибавить ошибку отсчета на миллиметровой бумаге (0,5 мм, т. е. 0,05 В) и ошибку, связанную с погрешностью вольтметра. Последняя равна половине погрешности, соответствующей классу точности вольтметра, т. е.

σ_a,сист = ½ · 2%·15= 0,15 В.

Полная погрешность равна

σ_a,полн = =0,17 В.

При расчете погрешности можно было сразу заметить, что одна из погрешностей, а именно σ_a,сист, много больше других, и принимать во внимание ее одну. При нашей точности 0,15 и 0,17 не отличаются друг от друга.

Скажем несколько слов об ошибке, вносимой в результат погрешностями миллиамперметра. В нашем случав эту погрешность можно не учитывать, потому что измерения проводились с помощью прибора, имеющего высокий класс точности. Если это было бы не так, то токовую погрешность, вносимую миллиамперметром (в нашем случае (1/2)·0,5%·0,15 А = 3,7 · 10^–4 А), нужно было бы с помощью параметра b пересчитать в погрешность напряжения (в нашем случае 3,7·10^–4·58,7·10^–2 В=2,2·10^–4 В), возвести в квадрат и внести в подкоренное выра­жение, служащее для вычисления σ_a,полн, в качестве одного из слагаемых.

Найдем погрешность в определении параметра b. На рис. 8 проведены две прямые в соответствии с рекомендациями, приведенными в тексте, который предшествует формуле (22). С помощью рис. 8 найдем

Δb =b₁ – b₂= 8,2 В/А.

Погрешность в определении b согласно (22) равна

σ_b = Δb/ = 8,2/ =1,5 В/А.

Систематическую часть погрешности оценим, исходя из класса точности вольтметра. Полагая для оценки, что вся ошибка сосредоточена на одном краю шкалы, и учитывая правило, согласно которому погрешность, определяемую классом точности, при расчете ожидаемых ошибок нужно уменьшить вдвое, получим

σ_b,сист = =1,0 В/А.

Погрешность отсчета по миллиметровой бумаге вносит в ошибку вклад

=0,3 В/А.

Полная погрешность в определении b равна

σ_b,полн = =1,8 В/A.

Имеем окончательно

а = 2,1 ± 0,2 В, b = 58,7 ± 1,8 В/А.

При написании этих значений мы следовали правилу, согласно которому найденное число и его погрешность должны записываться до одного и того же разряда, в нашем случае – включая первый знак после запятой. При написании численного значения а мы округлили погрешность до 0,2 В в соответствии c правилом, сформулированным в § 7.

Посмотрим еще раз на расположение экспериментальных точек на графиках рис. 7 и 8. Эти точки нередко отклоняются от проведенной прямой на 0,2–0,3 В. Хотя такие отклонения не противоречат точности вольтметра, разброс точек явно связан не с ним. В самом деле, экспериментальные точки разбросаны вокруг прямой без всякого порядка. Невозможно предположить, что погрешности прибора ведут себя таким образом: ни сила магнита, ни упругость волоска, ни расположение делений на шкале так беспорядочно «прыгать» не могут. К разбросу точек привела какая-то другая причина, которая не была нами своевременно замечена. Возможно, что эти «прыжки» связаны с плохим качеством контактов,– их следовало бы закрепить или пропаять, а затем повторить опыт. Возможно, что источник питания недостаточно стабилен. Это нужно было бы выяснить и иметь в виду в будущем. Вероятнее же всего, что колебания результатов вызваны плохим контактом в переменном сопротивлении R.

Результаты рис. 7 и 8 на самом деле нужно не пускать в обработку, а получить заново, устранив в схеме неисправность. (Мы их оставили здесь в качестве учебного примера.) Заметим, что этот важный вывод мы сделали, анализируя графики рис. 7 и 8. Без графиков к этому заключению прийти было бы намного труднее.