§ 4. Критерии значимости. Метод χ2.

В ернемся к опыту по исследованию упругих свойств металлического стержня. Пусть результаты опытов изображаются точками на рис. 4. Первый же взгляд на график убеждает нас в том, что зависимость удлинения от нагрузки является линейной или почти линейной. В самом деле, прямая, проведенная на рис. 4 сплошной линией, не противоречит экспериментальным данным. Им не противоречит, однако, и изогнутая штриховая линия. Более того, эта линия даже несколько лучше удовлетворяет экспериментальным данным, чем прямая. Мы хотели бы, однако, думать, что истинная связь удлинения и нагрузки все-таки является прямолинейной. Задача сводится к отысканию критерия, позволяющего судить о том, является ли представление искомой зависимости в виде прямой линии достаточно хорошим или экспериментальные данные заставляют отдать предпочтение криволинейной зависимости, например зависимости, изображенной штриховой линией.

Сформулированная сейчас задача в применении к закону Гука представляется несколько искусственной. В этом случае лучше всего попросту повторить опыт, уменьшив экспериментальные ошибки, и вопрос решится сам собой. Встречаются, однако, случаи, когда такое повторение опыта оказывается затруднительным или даже невозможным. Так бывает, например, при опытах с редкими частицами в космических лучах или на ускорителях, когда повторение опыта требует нескольких лет работы или попросту невозможно. Возможно, более полная интерпретация имеющихся данных становится в этом случае особенно существенной.

Общий вопрос, который возникает в таких случаях, сводится обычно к следующему. На графике, изображающем некоторую зависимость, точки легли не вполне регулярно. Следует ли придавать значение наблюденным отступлениям от гладкой кривой? Совместима ли с экспериментальными данными гипотеза о том, что искомая зависимость на самом деле является гладкой (или даже прямолинейной), или эти данные указывают на негладкий, аномальный ход кривой?

Исследование проблемы достоверности гипотез производится обычно с помощью критериев значимости. Одним из наиболее удобных критериев значимости является так называемый «критерий χ²»•

В предыдущем параграфе мы рассматривали метод наименьших квадратов, с помощью которого можно, например, провести через экспериментальные точки наилучшую прямую. Исследуем теперь вопрос о том, насколько данные, использованные для проведения этой прямой, согласуются с представлением о том, что рассматриваемая прямолинейная зависимость действительно имеет место. Единственной мерой, которая может быть использована для расчета, является, естественно, точность, с которой экспериментальные точки удовлетворяют предполагаемому закону. В методе χ² в качестве такой меры принимается сумма квадратов отклонений от предполагаемой зависимости:

. (П.19)

Отклонения экспериментальных точек от ожидаемых значений, как мы видим, выражаются в долях стандартной ошибки данного измерения. Найденное значение χ² должно быть сопоставлено с теорией. Это делается с помощью таблицы 1. В таблице для разного числа степеней свободы (числом степеней свободы в этом случае называется число измерений без одного, если гипотеза не содержит определяемых из опыта коэффициентов; число измерений без двух, если из опыта находится один коэффициент, например наклон прямой, и т. д.) приведены значения χ² для ряда чисел p. Для 10 степеней свободы находим из таблицы, что χ² = 2,6 для p = 99, χ² = 3,9 для p = 95, х² = 7,3 для p = 70, χ² = 23,2 для p = 1 и т. д. Это означает, что в том случае, если гипотеза справедлива, рассчитанное по (П.19) значение χ² с вероятностью 99% (p = 99) окажется больше 2,6, с вероятностью 95% (p = 95) больше. 3,9, с вероятностью 70% .больше 7,3, с вероятностью 1% больше 23,2 и т. д.

Пусть мы найдем в результате расчета по формуле (П.19) χ² = 3,5. Такое значение χ² должно наблюдаться больше чем в 95% случаев; отклонение наших данных от ожидаемой прямолинейной зависимости является в этом случае совершенно несущественным. Если бы мы нашли в результате расчета χ² = 18, сопоставление с таблицей показало бы нам, что такие отклонения следует ожидать только в 5% случаев. Существование прямолинейной зависимости и в этом случае нельзя считать исключенным, но должно быть поставлено под сомнение. Естественно в этом случае повторить опыт, чтобы получить более ясный результат. Если бы χ² оказалось равным 30 (вероятность получить на опыте такое значение ≈0,1%), можно было бы утверждать, что проверяемая гипотеза почти наверное является ошибочной.

При сравнении отклонений с таблицей обычно применяют следующую терминологию: если найденная из опыта величина χ² должна наблюдаться с вероятностью, заключенной между 1 и 5%, отклонения называются почти значимыми, если вероятность заключена между 0,1 и 1%,– значимыми и, наконец, если вероятность обнаружить найденное значение χ² оказывается меньше 0,1%, отклонения являются высокозначимыми. При вероятности больше 5% следует считать, что экспериментальные данные недостаточны для того, чтобы отвергнуть гипотезу.

На этом мы заканчиваем краткое изложение общих методов обработки результатов наблюдений. Более подробные сведения могут быть найдены в специальных книгах.

Таблица 1.

Распределение χ²

p – вероятность (в%) найти на опыте значение χ², большее, чем указано в таблице;

n – число степеней свободы системы.

p n	99	98	95	90	80	70	50	30	20	10	5	2	1	0,1
4	0,3	0,4	0,7	1,1	1,6	2,2	3,4	4,9	6,0	7,8	9,5	11,7	13,3	18,5
5	0,6	0,8	1,1	1,6	2,3	3,0	4,4	6,1	7,3	9,2	11,1	13,4	15,1	20,5
6	0,9	1,1	1,6	2,2	3,1	3,8	5,3	7,2	8,6	10,6	12,6	15,0	16,8	22,5
7	1,2	1,6	2,2	2,8	3,8	4,7	6,3	8,4	9,8	12,0	14,1	16,6	18,5	24,3
8	1,6	2,0	2,7	3,5	4,6	5,5	7,3	9,5	11,0	13,4	15,5	18,2	20,1	26,1
9	2,1	2,5	3,3	4,2	5,4	6,4	8,3	10,7	12,2	14,7	16,9	19,7	21,7	27,9
10	2,6	3,1	3,9	4,9	6,2	7,3	9,3	11,8	13,4	16,0	18,3	21,2	23,2	29,6
11	3,1	3,6	4,6	5,6	7,0	8,1	10,3	12,9	14,6	17,3	19,7	22,6	24,7	31,3
12	3,6	4,2	5,2	6,3	7,8	9,0	11,3	14,0	15,8	18,5	21,0	24,1	26,2	32,9
13	4,1	4,8	5,9	7,0	8,6	9,9	12,3	15,1	17,0	19,8	22,4	25,5	27,7	34,5
14	4,7	5,4	6,6	7,8	9,5	10,8	13,3	16,2	18,1	21,1	23,7	26,9	29,1	36,1
15	5,2	6,0	7,3	8,5	10,3	11,7	14,3	17,3	19,3	22,3	25,0	28,3	30,6	37,7
16	5,8	6,6	8,0	9,3	11,1	12,6	15,3	18,4	20,5	23,5	26,3	29,6	32,0	39,2
17	6,4	7,3	8,7	10,1	12,0	13,5	16,3	19,5	21,6	24,8	27,6	31,0	33,4	40,8
18	7,0	7,9	9,4	10,9	12,9	14,4	17,3	20,6	22,8	26,0	28,9	32,3	34,8	42,3
19	7,6	8,6	10,1	11,6	13,7	15,4	18,3	21,7	23,9	27,2	30,1	33,7	36,2	43,8
20	8,3	9,2	10,8	12,4	14,6	16,3	19,3	22,8	25,0	28,4	31,4	35,0	37,6	45,3
21	8,9	9,9	11,6	13,2	15,4	17,2	20,3	23,9	26,2	29,6	32,7	36,3	38,9	46,8
22	9,5	10,6	12,3	14,0	16,3	18,1	21,3	24,9	27,3	30,8	33,9	37,7	40,3	48,3
23	10,2	11,3	13,1	14,8	17,2	19,0	22,3	26,0	28,4	32,0	35,2	39,0	41,6	49,7
24	10,9	12,0	13,8	15,7	18,1	19,9	23,3	27,1	29,6	33,2	36,4	40,3	43,0	51,2
25	11,5	12,7	14,6	16,5	18,9	20,9	24,3	28,2	30,7	34,4	37,7	41,6	44,3	52,6
26	12,2	13,4	15,4	17,3	19,8	21,8	25,3	29,2	31,8	35,6	38,9	42,9	45,6	54,0
27	12,9	14,1	16,1	18,1	20,7	22,7	26,3	30,3	32,9	36,7	40,1	44,1	47,0	55,5
28	13,6	14,8	16,9	18,9	21,6	23,6	27,3	31,4	34,0	37,9	41,3	45,4	48,3	56,9
29	14,3	15,6	17,7	19,8	22,5	24,6	28,3	32,5	35,1	39,1	42,6	46,7	49,6	58,3
30	15,0	16,3	18,5	20,6	23,4	25,5	29,3	33,5	36,2	40,3	43,8	48,0	50,9	59,7