Тема 5. Величины, рассматриваемые в начальном курсе математики: масса, время, скорость, путь и пр., единицы их измерения. Зависимости между тройками величин.

Цель изучения темы: обобщение и систематизация знаний о массе, скорости, времени, пути и прочих величинах, изучаемых в начальной школе, единицах их измерения, зависимостей между ними.

План:

1. Масса тела, единицы массы.

2. Время. Единицы времени.

3. Скорость при прямолинейном равномерном движении. Единицы скорости.

4. Зависимости между тройками величин.

Рассмотрим, как возникает представление о массе тела.

Термин «масса» происходит от латинского «massa», означающего «глыба, ком, кусок».

Масса тела — одна из основных физических величин, определяющая инерционные и гравитационные свойства материи. Понятие массы было введено в механику И. Ньютоном и определялась как мера инерции тела по отношению к действующей на него силе.

Позднее в теории относительности А. Эйнштейна понятие массы приобрело более глубокий смысл. Кроме того, принято считать, что масса элементарной частицы определяется полями, которые с ней связаны (электромагнитными, ядерными).

В целом, природа массы — одна из важнейших, до конца еще не решенных, задач физики.

Простейшие (на бытовом уровне) представления масс тела формируются при практическом рассмотрении следующих ситуаций.

Предположим, что в нашем распоряжении имеются рычажные весы и некоторые тела А, В, С, … Массы тел будем обозначать соответствующими малыми буквами: a, b, c … Множество масс обозначим буквой М.

Положим на левую чашу весов тело А, а на правую — тело В. При этом возможны следующие случаи:

1. Правая чаша весов опустилась, а левая поднялась и стала выше правой. В этом случае говорят, что масса тела А меньше массы тела В и пишут a < b.

2. Правая чаша весов поднялась, а левая опустилась и стала ниже правой. В этом случае говорят, что масса тела А больше массы тела В и пишут a > b.

3. Правая и левая чашки весов оказались на одном уровне. В этом случае говорят, что тела А и В имеют равные массы, т.е. a = b.

Из рассмотренной ситуации можно сделать вывод о том, что массы можно сравнивать.

Если какое-то тело, например С, на чашках рычажных весов уравновешивается телами А и В, то говорят, что масса тела С равна сумме масс тел А и В, т.е. массы тел можно складывать. В этом случае записывают: c = a + b. Можно показать, что множество масс М с определенными выше отношением «меньше» и операцией сложения (М, <, +) является еще одним примером конкретной системы положительных скалярных величин.

Процесс измерения масс называется взвешиванием, производится с помощью весов и заключается в следующем. Выбирается тело Е, масса которого l принимается за единицу измерения. Основной единицей массы является килограмм. Используется также дольные и кратные единицы массы. По ним изготавливают гири — специальные тела, выбранные в качестве единиц измерения.

М	m	R+
	—>

На одну чашу весов кладут тело, массу которого измеряют, а на другую гири. Гирь должно быть столько, чтобы чашки весов уравновесились. В результате взвешивания получается число, характеризующее массу тела. Таким образом, в процессе взвешивания строится отображение

множества масс М во множество положительных действительных чисел R₊.

Несмотря на то, что процесс взвешивания существенно отличается от процессов, связанных с измерением геометрических величин, указанное отображение характеризуется все теми же свойствами, общими для всех скалярных величин: существование единицы измерения; инвариантность, аддитивность и монотонность массы.

В результате измерения сравнение масс и действия над ними сводятся к сравнению и действиям над числовыми значениями масс при одной и той же единице измерения.

SI (СИ)

Величина	Наименование основной единицы	Определение единицы
Масса	Килограмм	Единица массы, равная массе международного прототипа килограмма

Единицы массы, применяющиеся в народном хозяйстве: миллиграмм, сантиграмм, дециграмм, грамм, килограмм, центнер, тонна, карат.

Первые представления о том, что предметы имеют массу, дети получают в жизненной практике до школы. Взяв в руки предметы, дети на основе ощущений устанавливают, какой предмет тяжелее, какой легче или по массе одинаковы.

Рассмотрим, как формируется представления о массе у младших школьников.

Первая единица массы, с которой знакомятся учащиеся — килограмм. Чтобы сформировать конкретное представление о массе в 1 кг, детям можно дать подержать в руках предметы с такой массой и сравнить их с предметами, которые тяжелее или легче их. Можно принести на урок весы, познакомить детей с набором гирь и научить их взвешивать различные предметы. Полезно дать учащимся задание узнать, какова масса часто встречающихся в быту предметов, таких, как буханка хлеба, литр молока, ведро картофеля.

Во II-м классе учащиеся знакомятся с новой единицей массы — граммом. Для того, чтобы сформировать наглядное представление о грамме, школьникам можно дать подержать гирьку в 1 г. Далее учащиеся знакомятся с набором гирь.

Для того, чтобы сформировать представление о центнере и тонне, можно провести экскурсию на склад или базу.

На данном этапе приступают к преобразованию величин, выраженных в единицах массы (заменяя мелкие единицы крупными и обратно), а также сравнивают массы и выполняют арифметические действия над ними. В процессе этих упражнений закрепляются знания таблицы единиц массы.

В процессе решения задач учащиеся устанавливают и используют взаимосвязь между величинами: масса одного предмета — количество предметов — их общая масса, учатся вычислять каждую из величин, если известны значения двух других.

Перейдем к рассмотрению понятия времени и его измерения.

Понятие о времени имеет каждый человек. Время выражает порядок смены явлений. В философии время — одна из основных объективных форм существования бесконечно развивающей материи.

Говоря о времени в быту, мы как правило, имеем в виду промежутки времени фиксированной продолжительности. Промежутки времени можно сравнивать, складывать, вычитать, умножать на положительное действительное число, делить. Поскольку для указанных действий выполняются свойства, схожее со свойствами длины, площади и массы, то в математике и физике время считают скалярной величиной.

Процесс измерения времени значительно сложнее измерения длин, площадей, объемов и масс. Так, за единицу времени не может быть взят произвольный промежуток, а только такой, который связан с периодически повторяющимся процессом. Поэтому существующие измерение времени основано на учете вращения Земли вокруг оси и обращения Земли вокруг Солнца. За основную единицу времени в астрономии приняты сутки — промежуток, равный времени обращения Земли вокруг своей оси. Сутки и их доли (часы, минуты и секунды) используются при измерении коротких промежутков времени.

SI (СИ)

Величина	Наименование основной единицы	Определение единицы
Время	Секунда	Промежуток времени, равный 9 192 631 770 периодам электромагнитного излучения, соответствующего определенному переходу в атоме цезия-133 в отсутствие внешних полей

Вся жизнь человека тесно связана со временем, с умением измерять, распределять, ценить время. Время течет непрерывно, его нельзя ни остановить, ни возвратить, поэтому восприятие промежутков времени, сравнение событий по продолжительности очень затруднено.

Время — одна из трудных для изучения величин. Временные представления у детей развиваются медленно, в процессе длительных наблюдений, накопления жизненного опыта, изучения других величин.

Первые представления о времени дети получают в дошкольный период.

Временные представления у учащихся формируется прежде всего в процессе их практической (учебной) деятельности: режим дня, ведение календаря природы, ежедневная запись в тетрадях даты работы — все это помогает ребенку увидеть изменения времени, почувствовать течение времени.

Знакомство с единицами времени способствует уточнению временных представлений детей. Знание количественных отношений единиц времени помогает сравнивать и оценивать по продолжительности промежутки времени, выраженные в тех или иных единицах.

Усвоению отношений между единицами времени помогает таблица мер.

В III классе рассматриваются простейшие случаи сложения и вычитания величин, выраженных в единицах времени.

Программа по математике предусматривает наряду с рассмотренными величинами знакомство со скоростью.

Для количественной характеристики процесса движения тела вводится понятие скорость движения.

Средней скоростью движения в физике называют отношение перемещения к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло. Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения.

Мгновенной скоростью поступательного движения тела в момент времени t называется отношение очень малого перемещения к малому к малому промежутку ∆t, за который произошло это перемещение:

.

Мгновенная скорость — векторная величина.

При последовательном уменьшении длительности промежутка времени ∆t направление вектора перемещения приближается к касательной точке А траектории движения, через которую проходит тело в момент времени t . Поэтому вектор скорости лежит на касательной к траектории движения тела в точке А и направлен в сторону движения тела.

Движение материальной точки называется равномерным, если модуль ее мгновенной скорости с течением времени не изменяется.

Средней скалярной (средней путевой) скоростью называется физическая величина, определяемая отношением пути, пройденного точкой, за промежуток времени, к длительности этого промежутка. При стремлении знаменателя к нулю мгновенное значение скалярной скорости совпадает с модулем мгновенной скорости точки.

В общем случае средняя скалярная скорость не равна по модулю средней скорости точки. Равенство этих скоростей выполняется только при прямолинейном движении.

Итак, движение с постоянной по модулю и направлению скоростью называется равномерным прямолинейным движением. При равномерном прямолинейном движении тело движется по прямой и за любые равные промежутки времени проходит одинаковые пути.

Формула, приведенная выше, позволяет установить единицу скорости.

В международной системе (СИ) единицей расстояния является метр, единицей времени — секунда, поэтому скорость выражается в метрах в секунду:

1 м	=1 м/с
1 с

Метр в секунду равен скорости прямолинейно и равномерно движущейся точки, при которой точка за время 1с перемещается на расстояние 1м.

Рассмотрим, как изучается тема «Скорость. Время. Расстояние» в начальной школе. Методика изучения этого материала связывается непосредственно с обучением решению задач.

В частности по программе Л.Г. Петерсон данная тема изучается в 3 классе.

Прежде всего дети узнают, что скорость можно измерить и сравнить, значит скорость является величиной. Дети знакомятся с единицами измерения скорости: метр в секунду, метр в минуту, километр в час. Далее учащиеся знакомятся с формулой пути и решают разнообразные задачи на нахождение того или иного компонента формулы.

Мы рассмотрели тройку величин, связанных с прямолиней­ным равномерным движением: скорость (v); время (t); расстояние (s). Зависимость между этими величинами выражается, как извест­но, формулой

S=vt

Положим в формуле v=const. Отсюда видно, что зависимость расстояния от времени является пря­мо пропорциональной. Такая зависимость обладает свойством:

во сколько раз увеличивается (уменьшается) время движения, во столько же раз при постоянной скорости увеличивается (умень­шается) пройденное расстояние.

Допустим теперь, что время, потраченное на движение, постоянно.

Во сколько раз увеличивается (уменьшается) скорость движе­ния, во столько же раз при постоянном времени увеличивается (уменьшается) пройденное расстояние.

При постоянном расстоянии время и скорость находятся в обратно пропорциональной зависимости, и, следователь­но, справедливо свойство:

во сколько раз увеличивается (уменьшается) время движения тела, во столько же раз при постоянном расстоянии уменьшается (увеличивается) скорость.

Аналогичные зависимости существуют между другими тройками величин, рассматриваемыми в начальном курсе математики. К та­ким величинам относятся:

цена, количество, стоимость товара;

производительность труда, время работы, объем работы;

расход сырья на одно изделие, количество изделий, количество сырья;

масса одного ящика, количество ящиков, общая масса и т. д.

Так, для величин цена, количество, стоимость товара справедли­вы следующие свойства:

а) во сколько раз увеличивается (уменьшается) цена товара при постоянном его количестве, во столько же раз увеличивает-­ ся (уменьшается) его стоимость;

б) во сколько раз увеличивается (уменьшается) количество то-­ вара при постоянной цене, во столько же раз увеличивается (умень­- шается) его стоимость;

в) во сколько раз увеличивается (уменьшается) цена товара при постоянной стоимости, во столько же раз уменьшается (увеличи-­ вается) его количество.