Тема 4. Объем тела и его измерение. Единицы объема.

Цель изучения темы: введение понятий объема тела, обобщение и систематизация имеющихся знаний о единицах объема и измерении объемов некоторых многогранников и тел вращения.

План:

1. Объем тела.

2. Способы измерения объемов тел.

3. Единицы объема.

4. Объемы некоторых многогранников и тел вращения.

Теория измерения объемов может быть построена совершенно аналогично изложенной в теме 3 теории измерения площадей.

Для этого вводится понятие «единичного куба», т.е. куба, ребра которого параллельны осям координат и равны единичному отрезку (U=l³). Затем строится кубическая пространственная решетка из плоскостей, соответственно параллельных плоскостям граней единичного куба и отстоящих от них на расстояниях, равных единичному отрезку.

Ограниченная пространством фигура Ф, объем которой надо измерить, помещается в построенную решетку. Здесь различают кубы, заключенные внутри данной фигуры, и кубы, имеющие с фигурой Ф хотя бы одну общую внутреннюю точку. Далее, ребра единичного куба делят последовательно на 10, 100 и т.д. равных частей и образуют последовательные кубические решетки. Новые, более мелкие ячейки составляют, соответственно , и т.д. часть единичного куба.

Проводя рассуждения, аналогичные плоскому случаю, получим последовательности чисел и ,

где — m_i — число кубов, заключенных внутри фигуры Ф, ограниченной кусочно-гладкой замкнутой поверхностью, существуют конечные пределы и .

В этом случае, когда υ = V, их общее значение называют объемом фигуры Ф и обозначают символом V(Ф). Фигура Ф в этом случае называется кубируемой.

М	v	R+
	—>

Можно показать, что условием существования объема трехмерной фигуры Ф является .

Описанный процесс измерения объемов определяет

отображение множества кубируемых фигур М во множество положительных действительных чисел R₊. При этом сохраняются свойства, являющиеся фундаментальными для любых положительных скалярных величин.

1. Значение объема единичного куба ровно единице, т.е. V(υ) = 1.

2. Объемы равных фигур при выбранной единице измерения выражаются одним и тем же числом (Ф₁,Ф2 Є М) (Ф₁ = Ф₂ => V(Ф₁) = V(Ф₂)).

3. Если фигура составлена из конечного числа кубируемых фигур, то она кубируема, и значение ее объема равно сумме значений объемов составляющих фигур

(Ф₁,Ф2 Є М) (Ф = Ф₁  Ф₂  … Ф_n => V(Ф) = V(Ф₁) + V(Ф₂) + … + V(Ф_n)).

4. Если кубируемая фигура Ф₁ помещается внутри кубируемой фигуры Ф₂, то значение объема V(Ф₁) меньше значения V(Ф₂).

(Ф₁,Ф2 Є М) (Ф₁ < Ф₂ => V(Ф₁) < V(Ф₂)).

Единица объема — кубический метр равен объему куба с ребрами, длины которых равны 1 м, обозначается м³.

Аналогично определяется: кубический дециметр — дм³, кубический сантиметр — см³, кубический миллиметр — мм³.

Основные единицы объема, применяющиеся в народном хозяйстве: кубический миллиметр, кубический сантиметр (миллилитр), литр (кубический дециметр), декалитр, гектолитр, кубический метр (кубометр).

Мерой емкости на Руси в старину было ведро, равное 4 четвертям или 10 штофам (кружкам).

Объемы некоторых тел
Призма	, где : 1) площадь основания призмы; 2) площадь перпендикулярного сечения призмы; : 1) высота призмы; 2) длина бокового ребра призмы
Пирамида	, где - площадь основания пирамиды, - ее высота
Усеченная пирамида	, где - высота усеченной пирамиды, - площади оснований
Цилиндр	V= π H, где R- радиус основания цилиндра, H- высота.
Конус	π H , где R- радиус основания конуса, H- высота.
Усеченный конус	π , где H- высота усеченного конуса, - радиусы верхнего и нижнего оснований.
Шар	π , где R – радиус шара.