Тема 2. Длина отрезка, ее основные свойства. Измерение длины отрезка. Стандартные единицы длины. Отношения между ними.

Цель изучения темы: введение понятий длины отрезка, измерения длины отрезка, обобщение и систематизация имеющихся знаний о единицах длины.

План:

1. Величины, изучаемые в начальной школе.

2. Длина отрезка, ее основные свойства.

3. Измерение длины отрезка. Стандартные единицы длины. Отношения между ними.

В начальных классах рассматриваются такие величины как длина, площадь, масса, время и др. Учащиеся должны получить конкретные представления об этих величинах, ознакомиться с единицами их измерения, овладеть умениями измерять величины, научиться выражать результаты измерения в различных единицах, выполнять арифметические действия над величинами.

Изучение величин имеет большое значение, т.к. понятие величины является важнейшим понятием математики. Каждая изучаемая величина — это некоторое обобщенное свойство реальных объектов окружающего мира. Упражнения в измерениях развивают пространственные представления, вооружают учащихся важными практическими навыками, которые широко применяются в жизни. Следовательно, изучение величин — это одно из средств связи обучения с жизнью.

Величины рассматриваются с I по III класс в тесной связи с изучением натуральных чисел и дробей; обучение измерению связывается с обучением счету; новые единицы измерения вводятся вслед за введением соответствующих счетных единиц; арифметические действия выполняются над натуральными числами и над величинами. Измерительные и графические работы как наглядное средство используются при решении задач. Таким образом, изучение величин способствует усвоению многих вопросов курса математики.

Обучение измерению величин в начальной школе начинается с формирования понятия длины у младших школьников как общего свойства протяженности предметов.

Рассмотрим теоретические аспекты изложения этого вопроса согласно аксиоматическим определениям темы 1[4].

Отрезок на арифметической прямой R можно определить как упорядоченную пару точек <a, b>, где a, b  R и a ≤ b. Множество всех отрезков обозначим U.

Положим T(u) ↔ b – a, где u = <a, b>  U. Такое Т назовем измерением длины отрезка. Тогда Rт = R≥0. Можно в качестве множества измеряемых объектов выбрать U ↔ R². Тогда положим T(u) ↔ b – a, где u = <a, b>  R². Получим Rт = R.

В соответствии с общим определением, величиной отрезка (относительно измерения длины) называется совокупность всех отрезков, имеющих одинаковую длину. Ясно, что Т (<a, b>) = Т (<c, d>) ↔ ( h  R⁺ ((a + h = c)  (b + h = d))). Поэтому оказывается, что величину отрезка можно определить и не используя самого измерения Т. А именно, величиной отрезка <a, b> называется класс эквивалентности

[<a, b>] ↔ {<c, d>  R² |  h  R⁺ (<a, b> + h = <c, d>)}

где c, d  R и a ≤ b. В этом определении вместо отображения Т используется группа R⁺. Система величин U/~ состоит из всех классов эквивалентности [<a, b>], т.е. совпадает с фактор-множеством множества отрезков относительно отношения эквивалентности:

(<a, b>) ~ <c, d> ↔  h  R⁺ (<a, b> + h = <c, d>).

Длина является величиной, характеризующей пространственную протяженность объектов. Рассмотрим основные свойства этой величины, многие из которых используются в начальном курсе математики. Как было изложено выше, длины всевозможных отрезков образуют некоторое множество L. Один способ наглядного представления этого множества заключается в следующем [2].

Рассмотрим луч ОХ, на котором от начала О отложены всевозможные отрезки. Пусть А — произвольная точка, принадлежащая лучу. Будем считать, что А изображает длину а отрезка ОА.

Пусть b — длина, характеризующая произвольный отрезок MN. Отложим на луче ОХ отрезок ОВ, равный отрезку MN. Точка В будет соответствовать длине b. При таком представлении очевидна справедливость следующих утверждений:

1. каждая точка луча изображает некоторую длину;

2. разные точки изображают разные длины;

3. каждая длина изображается некоторой точкой.

Таким образом, между множеством длин отрезков L и множеством точек луча ОХ легко определить отношение «меньше», которое, очевидно, является отношением порядка.

Определение: Длина а меньше длины b тогда и только тогда, когда на луче ОХ точка А лежит между точками О и В. Множество длин L с введенным на нем отношением «меньше» и операция сложения (L, <, +) является одним примером конкретной системы положительных скалярных величин.

В процессе измерения конкретные длины a, b, c … оказываются выраженными положительными числами m(a), m(b), m(c) … так, что выполняются следующие свойства:

1. Существует отрезок l, длина которого принимается за единицу m(l) = 1;

2. Равные длины при выбранной единице выражаются равными числами. (а, b Є L) (а = b => т.е. ml(a) = ml(b));

3. Число, соответствующее сумме длин, равно сумме чисел, соответствующих слагаемых, т.е. для любых длин a₁, a₂, … a_n Є L выполняется условие а = a₁ + a₂ + … + a_n => ml(a) = ml(a₁) + ml(a₂) + … + ml(a_n);

4. Длина меньшего отрезка выражается меньшим числом

(а, b Є L) (а < b => т.е. ml(a) < ml(b)).

Справедливость свойств 1-4 вытекает из свойств множества положительных действительных чисел R₊ .

Стандартные единицы длины.

Величина	Единица	Обозначение		Определение
		Международное	Русское
Длина	метр	m	М	Метр равен 165076,373 длин волн в вакууме излучения, соответственно переходу между уровнями 2p10 и 5d5 атома криптона 86 (XI ГК МВ)
		Обозначения рекомендуемых дольных и кратных единиц: км, см, мм, мкм, нм.

Значение приставок, рекомендуемых для обозначения других дольных и кратных единиц по отношению к единице «метр» см. в таблице к теме 1.

Русская система мер складывалась как под влиянием мер, принятых у других народов, так и самостоятельно. Основными мерами длины считались вершок, четверть, аршин, сажень, верста. Все они были связаны между собой: четверть равнялась 4 вершкам; аршин — 4 четвертям; сажень — 3 аршинам; верста — 500 саженям.

Метрическая система мер на территории России стала применяться только после революции 1917г., а окончательно вошла в употребление на территории СССР с 1927г.

Первые представления о длине как свойстве предметов у детей возникают задолго до школы. К началу обучения в школе дети выделяют без ошибок линейную протяженность (длину, ширину, высоту предметов).

С первых дней обучения в школе ставится задача уточнять пространственные представления детей. Этому помогают упражнения на сравнение предметов по протяженности. В процессе этих упражнений обрабатывается умение сравнивать предметы по длине, а также обобщается свойство, по которому происходит сравнение — линейная протяженность, длина.

Важным шагом в формировании данного понятия является знакомство с прямой линией и отрезком как «носителем» линейной протяженности.

Далее происходит знакомство детей с единицами измерения длины: сантиметром, дециметром, метром, километром. Рассматриваются преобразования величин: замену крупных единиц мелкими и мелких единиц крупными, например, 3дм 5см = 35 см и 48 см = 4дм 8 см.

Постепенно учащийся осознает, что числовое значение длины зависит от выбора единицы измерения (например, длина одного и того же отрезка может быть обозначена и как 3 дм, и как 30 см).