§ 13. Двумерные случайные величины и их законы распределения

Пусть есть опыт, в котором несколько случайных величин

X(S, h, Δτ, r) – многомерные случайные величины

Будем рассматривать только двумерные случайные величины

X(ξ, η), где ξ и η - случайные величины со своими законами распределения.

Геометрическая интерпретация:

x – значение ξ

y– значение η

Двумерные случайные величины подразделяются на непрерывные и дискретные случайные величины.

Дискретная случайная величина – это такая случайная величина (точка), вокруг которой, сколько бы раз ни проводили опыт, не никаких других точек, т.е. все точки изолированы друг от друга.

Непрерывная случайная величина – это такая случайная величина, значения которой заполняют сплошь некоторую область на плоскости.

Закон распределения дискретной случайной величины (если задана таблица):

η	ξ	x1	x2	…	xij	…	xn
y1					-
y2					-
…					-
yij		-	-	-	Pij
…
ym

Закон распределения непрерывной случайной величины задается в виде функции распределения – вероятность происхождения двух событий одновременно.

x,y – не включаются в интервал

Механический смысл ≈ масса плоскости (D)

Функция плотности распределения:

- плотность, с которой единичная масса распре делена на плоскости.

§ 14.Понятие зависимых и независимых случайных величин

Пусть в опыте есть двумерная случайная величина X(ξ, η)

- закон распределения для случайной величины ξ

- закон распределения для случайной величины η

Рассмотрим

- рост

- вес

Измеряем вес и рост определенного человека, затем фиксируем рост => люди будут иметь разный вес

- закон распределения веса. Он будет один и тот же для разного роста.

Условный закон распределения – это закон распределения, когда какая-нибудь компонента известна.

Случайная величина ξ независима от η, если для любого значения

,

Это понятие взаимное, т.е. если ξ не зависит от η, то и η не зависит от ξ.

Если условие не выполняется , то случайные величины зависимы.

Теорема:

Две случайные величины ξ и η в одном и том же опыте будут являтся независимыми случайными величинами тогда и только тогда, когда их двумерный закон распределения равен произведению одномерного закона.

Если нарушаются эти условия, то ξ и η – зависимы.

Доказательство:

Дано ξ и η –независимые случайные величины

=>

Р ассмотрим прямоугольник с бесконечно малыми сторонами. Р – вероятность попадания в эту область.

Если не зависимы

Теорема доказана.