§ 6.Примеры основных случайных величин и их характеристик

1. Случайная величина X, закон Бернулли

X	0	1	2	k	n
P

X – число появлений события А из n независимых опытов.

2. Закон распределения Пуассона

X	0	1	2	3	…	n
P				…	…

λ – среднее число соединений в единицу времени.

3. П оказательный закон распределения непрерывной случайной величины.

- среднее время ожидания, f(x) – функция плотности.

4. Равномерный закон распределения

5. Нормальный закон распределения ( f (x, m, σ) )

,

X=x1+x2+x3+…+xn ,

Если n достаточно велико, то X имеет нормальный закон распределения. При моделировании достаточно n=12.

6. Закон треугольника.

Площадь под кривой для плотности распределения равна единице.

,

Применяют в тех случаях, если кривая похожа на треугольник.

§ 7.Построение датчика псевдослучайных чисел.

Те числа, которые получаются с помощью датчика – псевдослучайные числа.

Массивы чисел, которые получаются с помощью генераторов - псевдослучайны, т.к. они получены с помощью определенных алгоритмов.

x=rand(m,n), 0≤xij≤1 распределена по равномерному закону.

§ 7.1 Датчики для равномерного закона распределения

x1=0,5 {} – другая часть числа

x2={11x1+π} {π} = 0,1415926…

x3={11x2+π}

Если увеличивать закон выборки

Чтобы построить гистограмму нужно использовать команду

hist(x,100), где x – выборка,

100 – количество интервалов, на которых находится выборка.

§ 7.2 Построение датчика псевдослучайных чисел для любого закона распределения

Теорема: Пусть ξ – случайная величина распределенная по закону y=F_ξ(x).

, η - случайная величина, распределенная от 0 до 1.

Утверждается, что случайная величина η распределена по равномерному закону.

Доказательство:

ξ – равномерный закон распределения

Возьмем произвольный интервал и найдем вероятность попадания в этот интервал, причем вероятность зависит от длины интервала. Это и будет означать, что случайная величина η распределена по равномерному закону.

Следствие:

Если , то .

§ 7.3 Построение датчика по показательному закону распределения

ξ – показательный закон распределения, если

При x ≥ 0, .

1. Генерируем по равномерному закону распределения

2. 

§ 7.4 Построение датчика с помощью таблицы квантилей

Очень часто при построении датчиков обратную функцию для функции распределения найти невозможно или очень трудно. Тогда используют квантили.

P – это обозначение некоторой вероятности, она выражается числом на промежутке (0,1)

Квантиль значения Р – это значение функции в точке .

Построение таблицы квантилей:

Отрезок [0,1] разбивается на равных N частей

всего (N+1) точек

И з-за практических соображений а и b выбирают такие, что все случайные значения заключены между ними.

Алгоритм построения квантилей:

1. Генерируется случайное число по равномерному закону

2. Определяется номер интервала.

Положим , находим i – номер интервала

3. Находим пару квантилей, которые являются границами найденного интервала

4. Генерируем случайную величину t по равномерному закону

, где r1 – равномерно распределенная случайная величина на промежутке [0,1].