- •Механічні коливання та хвилі
- •4.Коливання
- •4.1. Коливальний рух
- •4.2. Пружинний маятник
- •4.3. Математичний маятник
- •4.4. Фізичний маятник
- •4.5. Крутильний маятник
- •4.6. Розвязок диференціального рівняння коливань маятника
- •4.6.1. Вільні незгасаючі коливання
- •4.6.2. Вільні згасаючі механічні коливання
- •4.6.2.1 Характеристики вільних згасаючих коливань
- •4.6.3. Вимушені коливання
- •4.6.4. Енергія коливання
- •4.7. Параметричні та автоколивання
- •4.7.1.Параметричні коливання
- •4.7.2.Автоколивання
- •4.8. Додавання двох коливань одного напрямку
- •4.9. Додавання двох взаємно перпендикулярних коливань
- •4.10. Биття
- •4.11. Контрольні питання
4.7. Параметричні та автоколивання
4.7.1.Параметричні коливання
Параметричні коливання - це коливання тіла або системи тіл, що супроводжуються періодичною зміною одного або декількох параметрів системи. Наприклад, збільшуючи у такт з коливаннями математичного маятника його довжину у крайних положеннях і зменшуючи у положенні рівновари. Енергія маятника збільшується за рахунок виконання роботи силою, що змінює довжину підвісу під час його скорочення.
4.7.2.Автоколивання
Для підтримання незатухаючих коливань, застосовуються пристрої, які поповнюють енергію коливальної системи у такт з її коливаннями. Можна створити такі пристрої джерела енергії, що її передачею керує в автоматичному режимі сама коливальна система. Така система називається автоколивально, а її коливання називаються автоколиваннями.
Найвідомішим прикладом є годинниковий механізм, де джерелом енергії може бути пружина, приєднана до поворотної шестерні або, наприклад, підвішена ланцюжком на шестерні гиря. На маятнику годинника закріплений анкерний механізм у вигляді коромисла з стопорами, які через зубці шестерні фіксують її поворот. При цьому є таке положення маятника, коли анкерні стопори виходять за зубці і шестерня здійснює вимушений поштовх маятник, передаючи йому енергію у від пружини чи підвісу. В наступну мить маятник повертає анкер у вихідне положення і стопори знову фіксують положення шестерні. Така передача енергії поновлює втрачену на подолання опору сил тертя у годинниковому механізмі. Для підтримки роботи годинника потрібно його заводити: закручувати пружину або піднімати гирі.
4.8. Додавання двох коливань одного напрямку
Для додавання двох коливань одного напрямку, наприклад, вздовж осі ОХ
, (1)
, (2)
застосуємо метод векторної діаграми. Математично це виражається в знаходженні величини суми двох векторів, довжини яких чисельно рівні амплітудам коливань, із подальшим знаходженням проекції х результуючого вектора (див.Мал.28). Цю процедуру проведемо в такому вигляді
, (3)
причому
, (4)
де
, (5)
. (6)
Початкову фазу можна визначити з виразу
. (7)
Одержаний результат випливає з наступних міркувань. Рівняння для х1 та х2 можна записати у експоненціальному комплексному вигляді:
, ,
і тоді
. (8)
З (8) видно, що знаходження х зводиться до знаходження модуля а та аргумента комплексного числа
. (9)
Це легко зробити, пригадавши, що сума двох комплексних чисел знаходиться в комплексній площині, як сума двох векторів, що визначають ці числа (див.Мал.38). Звідси амплітуда
,
де кут між векторами та . Проекція на вісь ОХ:
,
а на вісь ОУ:
і
.
Два коливання з частотами 1=2= називаються когерентними, якщо різниця їх фаз є сталою величиною, тобто
,
або такою що за період T вона змінюється на величину меншу . При цьому буде відмінним від 0 інтерференційний доданок в (5).
При додаванні двох когерентних гармонічних коливань результуюче коливання буде гармонічним із тією ж частотою .
В залежності від значення різниці початкових фаз , амплітуда результуючого коливання може змінюватися в межах від
,
коли , до величини
,
коли , .
У першому випадку коливання відбуваються у проти фазі і їх сума має мінімальну амплітуду, а у другому випадку коливання відбуваються у фазі, і їх сума має максимальну амплітуду.
При додаванні N гармонічних коливань одного напрямку з кратними частотами n=n, n=1,2,3,... одержимо періодичні, гармонічні коливання з періодом Т=2/. І, навпаки, кожне періодичне коливання з періодом Т можна представити як суму нескінченного числа простих гармонічних коливань із частотами, кратними основній частоті .
Коливання з частотами, більшими , називаються гармоніками. Сукупність таких гармонік утворює спектр коливань, який має дискретний характер. В той же час, неперіодичне коливання також можна представити у вигляді розкладу по гармонічним коливанням, в яких спектр частот буде неперервним (суцільним) із частотами в деякому інтервалі (1,2).