4.3. Математичний маятник

Математичний маятник  точкове тіло маси m, підвішене на нерозтяжному підвісі L (див.Мал.32), розмірами якого, порівнюючи з довжиною підвісу, можна знехтувати. Маса підвісу значно менша маси тіла m і нею також можна знехтувати. Коливання описуються кутом відхилення тіла від положення рівноваги  , кутовою швидкістю та кутовим прискоренням . Вектор задає точку прикладання сил. Коливання здійснюються в загальному випадку під дією моменту зовнішніх сил , моменту сили тяжіння та моменту сил опору , де  коефіцієнт опору. Вектори моментів сил та кутового прискорення лежать на осі обертання, яка  площині коливання та проходить через центр обертання О.

В еличину моменту сили тяжіння можна записати у вигляді . Для малих кутів  маємо sin­   і . Такі коливання називаються малими. За другим законом Ньютона для обертового руху маятника рівняння коливань можна записати так

, (1)

де J=mL²  момент інерції точкового тіла. Вектори , , , лежать на одній прямій, а тому, взявши напрямок кутового прискорення за додатній, векторне рівняння (1) можна записати в алгебраїчній формі

. (2)

В канонічному вигляді це рівняння має вигляд:

, (3)

де  коефіцієнт згасання коливань, , ₀  частота вільних незгасаючих коливань, або частота власних коливань маятника.

4.4. Фізичний маятник

Фізичний маятник  макроскопічне тіло, що здійснює малі коливання. Вісь обертання маятника О зміщена відносно центра мас тіла O_c на вектор (див.Мал.33). Коливання визначаються кутом  відхилення тіла від положення рівноваги. Ці коливання здійснюються в загальному випадку під дією моменту зовнішніх сил , моменту сили тяжіння та моменту сил опору , де  коефіцієнт опору. Величину моменту сили тяжіння можна записати у вигляді: М_g = mgLsin. Для малих коливань маятника маємо sin­   і М_g = mgL.

Використовуючи другий закон Ньютона для обертового руху, рівняння коливань можна записати так:

, (1)

де J  момент інерції тіла. Вектори лежать на одній прямій, а тому, взявши за додатній напрямок кутового прискорення, векторне рівняння можна записати в алгебраїчній формі:

. (2)

В канонічному вигляді рівняння (2) можна записати так

, (3)

де  коефіцієнт згасання коливань, , ₀  частота вільних незгасаючих коливань. Період малих власних коливань маятника T₀ = 2/₀ і T₀ = 2 , де  приведена довжина фізичного маятника, яка є довжиною підвісу математичного маятника з періодом рівним періоду коливань фізичного маятника.

4.5. Крутильний маятник

Крутильний маятник  макроскопічне тіло, наприклад диск з моментом інерції J, закріплене нерухомо на пружному стержні (див.Мал.34). Коливання визначаються кутом відхилення тіла від положення рівноваги, вектором кутової швидкості та вектором кутового прискорення . Тіло здійснює малі періодичні коливання під дією моменту зовнішньої сили , моменту сили опору та моменту пружної сили деформації кручення . За величиною момент сили опору , а сили кручення - . Кефіцієнт f називається модулем кручення. Лінійна залежність моменту сил кручення від кута повороту виконується лише для малих коливань.

З а другим законом Ньютона для обертового руху, рівняння коливань маятника можна записати так:

. (1)

Вектори лежать на одній прямій, а тому, взявши напрямок кутового прискорення за додатній, векторне рівняння (1) можна записати в алгебраїчній формі

,

і привести до канонічного виду

, (2)

де  коефіцієнт згасання коливань, , ₀  частота вільних незгасаючих коливань. Період малих власних коливань маятника

.