4.6. Розвязок диференціального рівняння коливань маятника

Канонічні диференціальні рівняння для усіх вище розглянутих маятників із точністю до позначення мають однаковий вигляд і є неоднорідними рівняннями, що описують вимушені коливання. При нехтуванні силами опору та відсутності зовнішніх сил, коливання будуть власними незгасаючими, а при відсутності зовнішніх сил рівняння будуть описувати вільні згасаючі коливання. Розв'язок рівняння, одержаний для одного з маятників, наприклад, фізичного, буде розв'язком рівнянь для інших маятників. Нижче розглянемо коливання фізичного маятника.

4.6.1. Вільні незгасаючі коливання

Якщо знехтувати силами опору (=0) при відсутності зовнішніх сил, то рівняння вільних згасаючих коливань перетвориться в рівняння вільних незгасаючих коливань:

+ ₀²  = 0. (1)

Прямою підстановкою у (1), можна упевнитися, що розв'язок (1) матиме вигляд

(t) = аcos(₀t+). (2)

Вираз (2) представляє гармонічні коливання. В (2) амплітуда коливань - максимальне відхилення тіла з положення рівноваги. Амплітуда є додатною величиною. Амплітуда та початкова фаза в (2) визначаються з початкових умов. Наприклад, якщо у момент часу t=0 кут відхилення маятника з положення рівноваги становить , а . Тоді і .

4.6.2. Вільні згасаючі механічні коливання

Коливання, що відбуваються у відсутність зовнішніх сил F, називаються вільними. Якщо при цьому існують сили опору, коливання будуть вільними згасаючими.

Для прикладу розглянемо вільні згасаючі коливання фізичного маятника. Рівняння згасаючих коливань є однорідним диференціальним рівнянням, яке враховує сили опору

. (1)

Розв'язок (1) шукаємо підстановкою Ейлера =e^t. Знайдемо перші дві похідні від  по часу

e^t, = ²e^t. (2)

Підставляючи похідні (2) у (1), одержимо:

e^t ( ² + 2 + ₀² ) = 0. (3)

Квадратне рівняння ² + 2 + ₀² = 0 у (3) називається характеристичним. Його розв'язок

, (4)

дає два фундаментальні розв'язки диференціального рівняння

₁ = exp(₁t), ₂ = exp(₂t), (5)

з яких утворюється загальний розв'язок. Загальним розв'язком однорідного рівняння (1) буде лінійна комбінація фундаментальних розв'язків (5)

 = Аexp(₁t) + Bexp(₂t) (6)

з дійсними коефіцієнтами А, В.

Можливі два випадки руху маятника

1 ) При  > ₀  аперіодичний рух. При цьому ₁,₂ < 0  дійсні числа. Функція  є спадною функцією часу (₁,₂<0) і описує асимптотичне, експоненціальної залежності від часу, повернення маятника в стан рівноваги. При цьому коливальний рух не здійснюється. Якщо за початкових умов (у момент часу t = 0), початкове зміщення (0) = ₀, а початкова швидкість _t=0 = V₀, то два рівняння

₀ = А + В; V₀ = A₁ + B₂ (7)

мають розв'язок

А = (₂ ₀ - V₀)/(₂ - ₁), B = ( ₁ ₀ - V₀)/(₁ - ₂). (8)

Залежно від початкових умов, можливі два випадки аперіодичного повернення маятника до стану рівноваги (див. Мал.35). При ₀ > 0 i V₀ < 0 із V₀ < ₁₀ коефіцієнт B буде менше нуля, а з ним

 = Аexp(₁t) + Bexp(₂t) < 0 (9)

повернення (див. Мал.35) має тип а), тобто можливе проміжне відхилення маятника зі стану рівноваги в протилежному напрямкові, а в усіх інших випадках  тип б)  безпосереднє повернення до стану рівноваги.

2) Якщо  < ₀, маятник буде здійснювати коливальний рух. При цьому

₁ = - ­­+і, ₂ = - ­­-і, (10)

де і =  уявна одиниця,  =  частота вільних згасаючих коливань. Фундаментальними розвязками для (10) є

Загальний розв'язок є лінійною комбінацією фундаментальних розвязків дійсною

 = e^-t(Ae^it + Be^-it), (11)

з комплексними коефіцієнтами А, В. Для знаходження величин А та В зауважимо, що функція  є дійсною функцією часу, і за цим вона має дорівнювати своїй комплексно спряженій функції  = ^* 

e^-t(Ae^it+Be^-it) = e^-t(A*e^-it +B*e^it). (12)

Прирівнюючи в (12) коефіцієнти при однакових експонентах, одержимо В=А*. Для зручності комплексну сталу А візьмемо в експоненціальному вигляді А = а₀e^i/2, де а₀  дійсна величина. Тепер

 = а₀/2·e^-t (e^i(t+) +e^-i(t+)) (13)

і, користуючись формулою Ейлера e^ix = cosx  isinx, вираз в дужках запишемо у вигляді:

 = а₀e^-t [cos(t+)+isin(t+)+cos(t+)-isin(t+)] 

 = ₀(t)cos(t+). (14)

В (14) ₀(t) = a₀e^-t  амплітуда коливань  спадна функція часу, Ф = t+  фаза коливань, Ф₀ =   початкова фаза.

На Мал.36 представлена залежність кута відхилення фізичного маятника при вільних згасаючих коливаннях з сталою згасання .