Сложение гармонических колебаний одного направления с разными частотами

Если складываются два гармонических колебания с разными угловыми частотами ₁ и ₂:

X

(4)

₁=A₁ cos( ₁t + ₁),

X₂=A₂ cos( ₂t + ₂),

то результирующем движением в этом случае будет не гармоническое движение, а сложный колебательный процесс, в котором смещение X, амплитуда A и фаза  будут представлять собою некоторые функции от времени.

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с одинаковыми частотами

Рассмотрим сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний, имеющих одинаковые угловые частоты :

X

(5)

=A cos ( t + ₁)

Y=B cos ( t + ₂)

Чтобы получить уравнение траектории, нужно из (5) исключить время t. Сделаем это для некоторых значений начальных фаз.

а ) Положим ₁₌₂. Тогда

(6)

Т

а)

б)

раектория в этом случае будет представлять прямую линию – диагональ прямоугольника со сторонами 2A по оси X и 2B по оси Y (Рис.2а).

б

(7)

) Если ₁=₂ + , то косинусы будут отличаться знаком, и уравнением траектории будет:

Y =

т

Рис.2

в)

г)

.е. траектория будет другой диагональю этого же прямоугольника (Рис.2б).

в) Пусть ₁ = ₂ + . В этом случае после несложных вычислений траектория будет определяться уравнением эллипса (Рис.2в):

(8)

+ ;

При A=B траектория превращается в окружность радиуса A.

г) В случае произвольных значений ₁ и ₂, точнее, их разности, траектория будет также эллипсом, вписанным в тот же прямоугольник, подобным одному из показанных на Рис.2г.

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с разными частотами.

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.

Н а Рис.3 показаны следующие случаи:

а) X=A cos t, Y=B cos(2 t+ );

б

а)

б)

) X=A cos t, Y=B cos2 t;

в) одна из фигур Лиссажу при отношении частот 23;

г) одна из фигур Лиссажу при отношении частот 34.

З

Рис.3

в)

г)

адавая колебание электронного луча в электроннолучевой трубке осциллографа вдоль оси X напряжением с известной частотой и отклоняя его вдоль оси Y напряжением частота которого неизвестна, можно с помощью кривой Лиссажу определить неизвестную частоту.

Описание эксперимента

К роме GFG-8216A в данной работе используется дополнительный генератор гармонических колебаний, собранный на операционном усилителе DA (микросхема А2 на макете). Схема такого генератора приведена на Рис.4.

В

Рис.4

качестве индуктивного элемента используется соленоид L, конденсаторы С₁ и С₂ имеют емкость 100нФ. Резисторы R₁ и R₂ соединены с входами ОУ на макете, а R₃ расположен под микросхемой. Выводы питания ОУ на сборочном поле не показаны, т.к. питание на микросхему подается автоматически, при включении лабораторного макета.

Правильно собранный генератор начинает работать сразу при подаче на него питания, при этом форма выходного сигнала в точке А близка к прямоугольной, а в точке В – синусоидальная. В данной работе будет использоваться именно гармонический сигнал с выхода В.

П

Рис.5

ри выполнении работы колебания собранного генератора будут складываться с гармоническим сигналом от GFG-8216A. Для сложения колебаний одного направления используется схема Рис.5. Такое разделение источников колебаний резисторами необходимо для исключения их взаимного влияния. На схеме U₁ – сигнал с выхода В генератора на ОУ, R₁ – резистор номиналом 100 кОм, соединенный с R₃ на Рис.4. Напряжение U₂ подается с выхода генератора GFG-8216A, R₂ – резистор 51 кОм.

Для сложения взаимно перпендикулярных колебаний одно из них подается на вход Х осциллографа, другое на вход Y.