Свободные затухающие колебания

Вид функции х₀(t) существенным образом зависит от соотношения величин ω₀ и β. Рассмотрим последовательно все три возможные и притом попарно несовместные варианты режимов движения свободной системы, описываемой уравнением (1), в котором φ(t)  0.

Периодический режим (затухание мало)

Режим малого затухания характеризуется неравенством 0    ₀.

Корни характеристического уравнения (y² + 2 y + ₀² = 0) в этом случае являются комплексно-сопряженными:

y_1,2 = - ± i , где i – мнимая единица.

Общее решение уравнения (1) при φ(t)  0 (без правой части) записывают в виде:

x₀(t) = A₀e^-tsin(t+ψ₀) (2)

где А₀ и ψ₀ - произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.

Величина А(t) = A₀e^-t называется амплитудой,

φ(t) =t+ψ₀ фазой колебания.

Видно, что x₀(t) в виде (2) содержит периодический множитель, а также убывающую со временем амплитуду. График функции (2) представлен на рис. 2.

Рис.2

Добротностью Q колебательной системы называется отношение максимальных значений силы упругости (kA) к силе трения (rA). При очень малом затухании ( → ₀) и

Величина называется логарифмическим декрементом,

где А(t) и А(t+T) – значения амплитуд для моментов времени, различающихся на один период Т.

Легко видеть, что (3)

Критический (переходный) режим ( =₀)

Корень характеристического уравнения действительный, отрицательный, двукратный:

y_1,2 = - β

Общее решение, соответствующее критическому режиму, имеет вид:

x₀(t) = (A₁ + A₂t)e^-βt, (4)

г

Рис. 3

де A₁ и A₂ - произвольные постоянные.

Функция (4) не обладает периодичностью. Общий вид графика функции (4) изображен на рис.3. В зависимости от начальных условий можно наблюдать как всю кривую, так и только ее участки, лежащие справа от вертикалей I или II.

Затухание велико (апериодический режим)

В случае, если  > ₀, корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные:

или y₁ = - α₁, y₂ = - α₂, где α₁ и α₂, - положительные числа. Общее решение уравнения (1) без правой части в этом случае имеет вид:

, (5)

По своему виду график функции (5) аналогичен кривой, изображенной на рис.3, однако система успокаивается за более длительное время.

Итак, общей чертой движения свободной колебательной системы во всех рассмотренных режимах является то, что по прошествии некоторого времени функция x₀(t) становится бесконечно малой (за исключением режима β = 0, имеющего лишь теоретическое значение). Поэтому, спустя некоторое время, движение колебательной системы, описываемой уравнением (1) при φ(t) ≠ 0, приобретает характер чисто вынужденных колебаний.

Вынужденные колебания. Резонанс

Как уже говорилось, применительно к колебательным системам интересен только такой случай, когда действие вынуждающего фактора φ(t) является периодическим с периодом Т, то есть φ(t) = φ(t + nT), где n - любое целое число. Поскольку всякая периодическая функция может быть представлена тригонометрическим рядом (рядом Фурье), ясно, что без ущерба общности можно ограничиться исследованием колебаний, возникающих при φ(t) = A₀ sin (Ωt + Φ), где Ω = 2π/T. То есть рассматриваемое дифференциальное уравнение (1) вынужденных колебаний фактически имеет вид:

x'' + 2x' + ₀²x = A₀ sin (Ωt + Φ). (6)

Частное решение уравнения (6) ищут в виде гармонического колебания, имеющего частоту вынуждающей силы и отстающего по фазе от нее на Ф, что без ущерба общности возможно сделать разумным выбором момента времени t = 0.

Итак:

(7)

Подставляя (7) в (6), раскрывая правую часть (6) по формуле синуса суммы двух углов и группируя коэффициенты при синусах и косинусах, получим:

a₀cosΦ = A(ω₀² – Ω²),

a₀sinΦ = 2Aβ Ω.

Решая последнюю систему уравнений относительно А и Φ, имеем:

(8)

(9)

Из формулы (9) видно, что сдвиг фаз Φ между вынуждающей силой и вызываемым ею движением определяется, в основном, коэффициентом затухания β. В частности, если затухание достаточно мало, колебания происходят практически синфазно с вынуждающей силой.

В знаменателе формулы (8) вынесем из под корня ω₀², тогда

где x₀ = A₀/ ω₀²:

a) - равно статическому смещению груза под действием постоянной силы, равной амплитудному значению F(t),

б) - статическому заряду конденсатора, который сообщит ему постоянная э.д.с., равная амплитудному значению E(t).

Теперь введем представление о коэффициенте динамичности колебательной системы μ, как отношения "динамической" амплитуды к статическому возмущению x₀. Тогда

(10)

где z = Ω/ω₀. (11)

Зависимость μ(z) изображается резонансной кривой. Проанализируем ее вид при различных коэффициентах затухания β.

1) независимо от β, μ(0) = 1.

2) при достаточно малом затухании ( « ₀, 0 < z  )

- монотонно возрастает от 1.

При z = 1 и = 0, теоретически μ(z) = ∞.

При z > 1 имеет место монотонный спад μ до 0.

Явление резкого возрастания коэффициента динамичности при приближении z к 1 (то есть при Ω → ω₀) носит название резонанса.

3) с увеличением  , μ (1) < ∞, полуширина резонансной кривой увеличивается, резонанс становится менее "острым". Положение максимума μ(z) смещается влево.

4) при очень большом затухании ^2/ω₀² » 1, выражением (1 – z²)² под корнем в интервале 0 < z < 2 можно пренебречь по сравнению со вторым слагаемым, поэтому ведет себя подобно гиперболе z ^. μ = const. Система резонансных кривых при различных коэффициентах затухания  представлена на рис.4, где с увеличением порядкового номера кривой коэффициент затухания возрастает.

Рис.4