Комплексные числа

Последнее расширение понятия числа, с которым имеет дело средняя школа,— введение комплексных чисел. Эта задача в методическом отношении также представляет значительную трудность; однако трудность эта совсем иной природы, чем в случае иррациональных чисел. Там реальный повод к введению новых чисел, а вместе с тем реальное значение этих чисел были вполне ясны и могли быть полностью доведены до сознания учащихся; трудность же целиком лежала в логической сложности и громоздкости самой теории, прежде всего — в определении и изучении действий над новыми числами. Здесь мы видим как раз обратную картину: определение действий над комплексными числами просто и естественно, изучение свойств этих действий не содержит никаких идейных трудностей и в формальном отношении не громоздко; напротив, связь новых чисел с реальной действительностью является таким моментом, который в рамках школьного курса никак не может найти себе сколько-нибудь полного освещения; поэтому при изложении учения о комплексных числах мы должны считаться с опасностью того, что в сознании учащихся весь этот раздел запечатлевается как формально-логическая игра, не имеющая никакого отношения к реальному миру.

Надо открыто признать, что борьба с таким положением вещей в пределах средней школы возможна лишь до известной степени; те учащиеся, математическое образование которых закончится школьным курсом, по необходимости будут только с чужих слов знать о непосредственных практических приложениях теории комплексных чисел и никогда не увидят этих приложений своими глазами. И тем не менее борьба за создание у  {49}  учащихся твердой убежденности в научной обоснованности и даже неизбежности введения комплексных чисел вполне возможна и может вестись по нескольким различным линиям. Здесь приходит на помощь то обстоятельство, что учащиеся обладают уже достаточно зрелым математическим развитием. Если ученики VI или VII класса способны ощущать как нужное и актуальное только то, что находит себе непосредственное практическое воплощение и применение, то в X классе они в состоянии уже понимать и уважать нужды самой математической науки, являющейся косвенным проявлением нужд и запросов все той же практики; такой выигрыш, как универсальная выполнимость обратного действия или универсальная разрешимость некоторых простейших типов уравнений, в сознании ученика старшего класса встает уже как ощутительное достижение, и это обстоятельство должно быть всемерно использовано при введении комплексных чисел.

Другим важнейшим орудием, помогающим ученику связать с комплексными числами целую цепь конкретных представлений, служит их геометрическая интерпретация. Мы не можем согласиться с теми, кто отстаивает полную геометризацию теории комплексных чисел в средней школе, т. е. такое изложение этой теории, при котором определение новых чисел и действий над ними сразу даются в геометрической форме, так как со всех точек зрения комплексное число должно войти в сознание учащихся прежде всего как объект арифметики, т. е. как новое расширенное понятие числа, а не как геометрическое понятие, не как символ, известного геометрического преобразования, лишь впоследствии получающий арифметическое истолкование. Геометрическая иллюстрация должна быть тем, что она есть, т. е. иллюстрацией. Но эта иллюстрация может быть широчайшим образом использована для конкретизации в сознании учащихся идеи комплексного числа, для связи этой идеи с рядом простых наглядных представлений; вместе с той ролью, которую играют комплексные числа в извлечении корней и решении уравнений высших степеней, геометрическая интерпретация этих чисел, позволяющая использовать их в качестве аналитического аппарата для простейших операций над векторами, должна укрепить в сознании учащихся представление о комплексных числах  {50}  как о таком математическом объекте, который не является изолированным мышлением, а напротив — связан прочнейшими нитями с целым рядом актуальных вопросов алгебры и геометрии.

Далее нужно учитывать, что самая возможность производства всех алгебраических действий над комплексными числами с сохранением всех основных свойств; которыми обладают эти действия в области вещественных чисел, в сознании правильно воспитанного ученика X класса должна уже создать представление о новых числах как о закономерном объекте арифметики, т. е. закономерном расширении понятия числа. Тот оперативный принцип, о котором мы говорили во введении к настоящей статье, если он был достаточно планомерно прививаем учащимся на протяжении всего курса, может здесь уже принести известные плоды; само собой понятно, что, и обратно, изучение комплексных чисел должно быть всемерно использовано для укрепления в сознании учащихся этого принципа.

Наконец, мы считали бы полезным, чтобы учитель, без всякой претензии на обоснование этого замечания, все же сообщил учащимся, что дальнейшее развитие учения о комплексных числах находит себе важнейшие применения в естествознании и технике, в частности — в учении о движении жидкостей и газов, в электротехнике и самолетостроении. Если указания такого рода и не обогащают ничем конкретным сознания учащихся, то во всяком случае они способны повысить уважение, а вместе с тем — внимание и интерес к изучаемой области, что одно уже представляет собой существенный выигрыш.

Введение комплексных чисел, помимо своего чисто математического значения, представляет собой едва ли не самую яркую на протяжении школьного курса иллюстрацию диалектического развития математических понятий — иллюстрацию, которая тем более должна быть всемерно использована, что в этом возрасте учащимся могут быть уже сообщаемы элементарные сведения о диалектических закономерностях. Комплексное число, в своей первоначальной форме чисто мнимого числа противополагаемое вещественному (откладываемое при геометрической интерпретации по перпендикулярному направлению), в своем дальнейшем развитии переходит  {51}  в такое общее понятие (синтез), в котором в качестве разновидностей встречаются и вещественное число (тезис), и чисто мнимое (антитезис), причем каждое из этих двух противоборствующих понятий сохраняет в этом синтезе полностью свои специфические черты, вступая в многообразные отношения со своим антитезисом (каждое комплексное число есть пример определенной спецификации такого отношения). Все это не мешает тому, что совокупность таких отношений (комбинаций вещественного и чисто мнимого) образует единое стройное целое — мир комплексных чисел, находящий себе наглядную иллюстрацию в цельном и законченном образе комплексной плоскости. Вряд ли можно подыскать другой пример, который с такой яркостью, наглядностью, логической простотой и вместе с тем с такой исчерпывающей полнотой мог бы иллюстрировать диалектические законы развития математических понятий.

Направление внимания учащихся на описанную диалектическую картину тем более желательно, что эффект его может быть не только принципиально философским, но и конкретно математическим; так, например, рассмотрения этого рода способны укрепить представление учащихся о вещественном числе как о разновидности, частном случае комплексного числа, в противоположность весьма распространенному неправильному представлению, в свете которого комплексное число тем самым не может быть вещественным. Само собой разумеется, что для достижения этой цели необходима безукоризненно четкая терминология; учащиеся должны твердо привыкнуть называть число а + b√–1, где а и b вещественны:

1) комплексным — при любых а и b;

2) вещественным — при b = 0;

3) мнимым — при b ≠ 0;

4) чисто мнимым — при а = 0, b ≠ 0¹. Соответственным образом учащиеся должны уметь бегло определять по положению точки на комплексной плоскости, какого рода число ей соответствует, т. с. должны знать, где в комплексной плоскости располагаются вещественные, мнимые и чисто мнимые числа.  {52} 

Само собой, разумеется, что приведенное выше терминологическое расчленение не представляет собой классификации, так как перечисленные в нем классы чисел, вообще говоря, не внеположны друг другу.