О введении новых понятий в школьном курсе математики

Если, как мы это видели, сама наука принципиально не в состоянии определить всех своих понятий, то совершенно ясно, что подобного требования нельзя предъявлять и к школьному курсу. Как бы мы этот курс ни строили, если только мы не хотим обманывать наших учеников, мы вынуждены будем оставить известную часть вводимых нами понятий без определений. Это должно стать исходным пунктом и непременной предпосылкой всех дальнейших исследований, связанных с поставленной нами задачей.

Вместе с тем ясно, что основные вопросы, которые встают перед школьным преподаванием после принятия этой предпосылки, заключаются в следующем:

1. Какие понятия в школьном курсе математики надлежит определять и какие оставлять без определений (мы видели, что этот вопрос уже в пределах самой науки допускает различные решения)?

2. В случае, когда мы отказываемся от определения какого-либо понятия, чем, какого рода поясняющими описаниями это определение следует заменить в ходе педагогического процесса?

3. Следует ли обращать внимание учащихся на различие между определением и описанием понятия, и если да, то когда, в какой мере и какими средствами?  {93} 

К краткому рассмотрению этих трех вопросов мы теперь и обращаемся.

Как мы видели выше, обязательным требованием логического построения всякой математической дисциплины является сведение числа неопределимых понятий (и числа аксиом) к минимуму. Это означает, что ни одно из первичных понятий не должно допускать определения с помощью других первичных понятий, иначе говоря, это означает, что всякое понятие, которое может быть определено, вместе с тем и должно быть определено, а не может быть причисляемо к неопределимым понятиям.

Можем ли и должны ли мы придерживаться этого требования в построении школьного курса? Мы полагаем, что по этому вопросу не может быть двух мнений, ибо если бы мы захотели, например, в курсе арифметики IV–V классов определять все понятия, логически допускающие определение, то мы должны были бы определять сложение и умножение (а также, заметим вскользь, доказывать их свойства) с помощью метода полной индукции детям в возрасте 11–12 лет. Фактически аксиоматическое построение любой научной области, будучи исторически всегда заключительным, а не начальным моментом в развитии данной дисциплины, недоступно не только школьнику, но и студенту первых годов обучения; оно требует такого уровня формально логической культуры, который в лучшем случае доступен кончающему студенту-математику.

Таким образом, не может подлежать сомнению, что число математических понятий, которые вводятся без определения, в школьном курсе должно быть значительно большим, чем при формальном построении данной дисциплины. Так, например, ясно, что понятие суммы (натуральных чисел), которое при формальном построении арифметики обычно определяется, в рамках школьного курса не должно быть определяемо. По каким же признакам надлежит судить, должно ли то или другое понятие подвергаться определению в пределах школьного курса? Чтобы придать обсуждению этого вопроса большую конкретность, мы продискутируем его на удобном для этой цели примере.

Выше мы видели, что понятие вычитания одни методисты в элементарном курсе предпочитают определять  {94}  (сводя его к понятию суммы и слагаемых, введенным ранее), другие же рекомендуют оставлять его без определения (как выше было выяснено, фразами вроде «вычесть значит отнять» и т. п. действие вычитания, конечно, никак не определяется). Вопрос этот действительно является спорным; мы здесь собираемся не решать его, а только разобраться в том, какими аргументами располагают представители той или другой точки зрения.

Те, кто настаивают на определении вычитания, опираются примерно на следующую аргументацию:

1. Определение понятия вычитания достаточно просто для того, чтобы ученик IV–V классов мог без затруднения его усвоить.

2. Определяя вычитание через сложение, мы тем самым сразу устанавливаем взаимную связь между этими двумя действиями — связь, для раскрытия которой при ином способе подхода к вычитанию пришлось бы затрачивать специальные усилия.

3. Так как деление обычно определяется через умножение и так как связь сложения с вычитанием имеет те же формальные черты, что и связь умножения с делением, то было бы методологически непоследовательно поступать по отношению к вычитанию иначе, чем мы поступаем по отношению к делению.

Все три приведенных аргумента являются вполне обоснованными. Напротив, совершенно ошибочной следует признать очень часто раздающуюся аргументацию примерно следующего содержания: «Определяя вычитание через сложение, мы сводим его к уже знакомым понятиям; определяя же вычитание как «отнятие», мы сводим его к понятию, которое так же ново, как оно само, и нигде еще не было определено».

Не говоря уже о том, что здесь в качестве второго «определения» цитируется простое пояснительное описание, которое, конечно, никому не придет в голову выставлять как определение, — такая аргументация исходит из явно неприемлемой установки, будто конкуренция между определением и описанием должна разрешаться в пользу определения всякий раз, когда такое определение возможно.

Аргументируя так, мы на том же самом основании обязаны были бы требовать определения и для сложения,  {95}  и вообще для любого понятий, не причисленного к первичным при формально логическом построении данной дисциплины.

С другой стороны, представители противоположной точки зрения указывают на следующее:

1. Тот реальный процесс, формальным отображением которого в арифметике служит понятие вычитания, настолько знаком каждому ребенку из повседневного опыта, что педагогически нецелесообразно знакомить детей с действием вычитания в отрыве от этих его реальных корней.

2. Вполне эффективным приемом введения понятия вычитания на базе соответствующего ему реального процесса является установление равнозначности термина «вычесть» с термином «отнять», хорошо знакомым детям из повседневной жизни.

3. Разумеется, то, что здесь предлагается, не может называться определением вычитания; однако число понятий, которое мы по необходимости вводим в школьный курс математики без определений, настолько велико, что увеличение или уменьшение его на единицу не может играть существенной роли.

4. Что касается до связи вычитания со сложением, то эта связь, несомненно, должна быть установлена полностью после того, как учащиеся на примерах и описательных пояснениях уже ознакомились с вычитанием.

Надо признать, что и эта аргументация является безукоризненно убедительной. Как уже было указано, в наши задачи отнюдь не входит решение изложенного спора: мы хотим извлечь из рассмотренного примера только те общие мотивы, которые в отдельных случаях могут заставить нас при первом введении нового понятия предпочесть определение описанию или наоборот. Вот основные из этих мотивов.

1. При введении каждого нового понятия необходимо прежде всего исследовать, допускает ли оно определение через ранее введенные понятия. Если определение дано быть не может, то, разумеется, данное понятие мы должны признать первичным (неопределимым), отказаться от всяких попыток его определения и искать надлежащей педагогической замены этого определения пояснительным описанием.  {96} 

2. Если определение нового понятия логически возможно, то следует рассмотреть вопрос о том, в какой мере оно допустимо с педагогической стороны, т. е. доступно ли оно сознанию учащихся данного возраста. Само собою понятно, что эту доступность мы должны оценивать не формально, а по существу: речь идет не о том, способен ли учащийся формально заучить, запомнить данное определение, а о том, в какой мере данная логическая формулировка способна стимулировать в данном возрасте правильные представления о понятии, его реальной сущности, его связи с другими понятиями, с жизнью, с практикой. Если определение (в силу ли чрезвычайной отвлеченности или чрезмерной сложности или других причин) таково, что эффективности в указанном смысле от него ожидать не приходится, то это говорит всегда в пользу отказа от этого определения и замены его каким-либо педагогическим эквивалентом.

3. Если, как это часто бывает, связанный с новым математическим понятием предмет или образ хорошо знаком учащимся из повседневного опыта (сложение, вычитание, угол, прямая линия, круг), то это является всегда аргументом в пользу того, чтобы при первой встрече с данным понятием апеллировать именно к этим его связям с реальностью, а не к формальному определению.

4. Напротив, если в строении данной научной области основную роль играют логические связи вводимого понятия с ранее определенными понятиями и если формальное определение данного понятия эти связи с достаточной ясностью и простотою раскрывают, то это говорит в пользу того, чтобы уже при первом знакомстве с этим понятием давать его формальное определение.

5. В случаях, когда мы имеем две или более параллельно идущих группы понятий, формальные связи которых представляют значительную аналогию (сложение и вычитание, умножение и деление), желательно в целях стройности и систематичности изложения вводить одинаковый подход к этим группам понятий, т. е. либо во всех группах строить изложение на формальных определениях, либо во всех группах отказываться от этих определений.

6. Следует отметить, что формальное определение и поясняющее, апеллирующее к реальным связям и  {97}  наглядным представлениям описание понятия, вообще говоря, не исключают друг друга; напротив, в случаях, когда понятие вводится на базе формального определения, это не освобождает нас, как правило, от того, чтобы немедленно после установления такого определения указывать его реальное значение, всесторонне освещать те наглядные образы, те жизненные и практические моменты, абстрактным отображением которых оно призвано служить. Во многих случаях вопрос идет только о том, что должно предшествовать, формальное определение или наглядно-практическое описание. Не надо, однако, думать, будто эти соображения могут лишить проблему ее большого педагогического веса: известно, какое подчас решающее значение имеет именно обстановка и характер первой встречи с этим понятием. Уже в зрелом возрасте у человека при упоминании того или другого термина почти всегда всплывают ассоциации, связанные именно с этим характером первичной встречи. Весь стиль, вся эффективность, практическая действенность понятия, как правило, существенно зависят от того, в какой обстановке, в каком окружении оно впервые вошло в наше сознание.

Перейдем теперь к вопросу о том, как в школьном курсе следует вводить понятия, которые вследствие логических или педагогических причин не могут быть формально определяемы. Прежде всего ясно, что в этом отношении школьное преподавание никак не может следовать тому пути, по которому идет наука. Как мы видели, в науке при введении первичных (неопределимых) понятий эквивалентом определения являются указания всех взаимосвязей этих первичных понятий между собой, задаваемое в виде списка аксиом. Но эта основная функция аксиом, бесспорно, является одним из наиболее трудно усвояемых моментов для всех, впервые знакомящихся с методом логического обоснования математических дисциплин. Не может быть и речи о том, чтобы в пределах школьного курса делать попытки каких-либо указаний в этом направлении; максимум наших пожеланий по отношению к школьному курсу может быть сведен к тому, чтобы роль -определения и роль аксиомы, в отдельности взятых, были в его пределах отчетливо доведены до сознания учащихся. Случаи же, когда аксиома служит заменой определения, по своей логической сложности,  {98}  безусловно, выходят за пределы возможностей школьного курса.

Совершенно ясно, что там, где новое понятие по тем или другим причинам вводится без определения, мы в школьном преподавании должны искать не формальный, а реальный педагогический эквивалент этому недостающему определению. Не формальные, а реальные связи нового понятия с другими понятиями, и не только понятиями, но и реальными жизненными предметами и явлениями должны доставлять материал для тех поясняющих описаний, которые призваны заменить собою определение.

Ясно, чго понятие натурального числа не может быть определено в курсе элементарной арифметики. Мы никогда и не определяем его. Но мы говорим, что число есть единица или собрание единиц, и это — хорошее поясняющее описание, потому, что в нем понятие числа связывается с понятием единицы (тоже, конечно, неопределимым) с помощью такого жизненно понятного всякому ребенку термина, как «собрание». Мы говорим также, что число есть результат счета, и это — также хорошее поясняющее описание: хотя в нем о сущности числа не говорится ни слова, но оно прямо указывает ребенку на ту хорошо знакомую ему из повседневного опыта практическую операцию, зрелым плодом которой всегда является число. Такого рода поясняющие описания имеют, конечно, большой педагогический эффект. Они сразу позволяют новому понятию занять в сознании учащегося правильное место в ряду других понятий и приучают школьника ассоциировать это понятие с теми образами, предметами и явлениями реальной жизни, с которыми оно действительно связано своими корнями.

Понятие угла в элементарной геометрии, очевидно, не может быть определено. И вот вместо определения мы даем поясняющее указание: «Угол есть мера взаимного наклона двух прямых». Что такое наклон и как его измерять — эти вопросы никогда до этого момента формально не рассматривались в курсе, и тем не менее наше указание, несомненно, имеет высокую педагогическую действенность: оно одновременно связывает с понятием угла простое и ясное наглядное представление и описывает одну из важнейших практических функций этого понятия — функцию, ценность которой вполне доступна  {99}  детскому сознанию. Мы говорим также, что угол есть часть плоскости, заключенная между двумя полупрямыми, выходящими из одной точки. Это новое поясняющее описание также ассоциирует понятие угла с простым наглядным представлением, здесь подчеркивается другой момент, другая особенность нового понятия: всякий угол делит точки плоскости на два класса — те, которые лежат внутри угла, и те, которые расположены вне его.

Приведенные примеры учат нас следующему. Поясняющие описания, которые призваны заменить собою определение нового понятия, всегда должны апеллировать к чему-то такому, что занимает уже прочное место в сознании учащегося. Это могут быть либо ранее прочно и действенно усвоенные понятия той же науки, либо знакомые учащемуся наглядные представления, либо известные ему из повседневного опыта жизненные явления или практические процессы. Устанавливая, без всякой претензии на логическую редукцию, те или другие связи вновь вводимого понятия с такими крепко усвоенными ингредиентами¹ детского сознания, мы достигаем того, что в дальнейшем, при упоминании этого понятия, в сознании учащихся встают правильные ассоциации, помогающие безошибочно оперировать с ним. Понятно, что такая роль поясняющих описаний делает их чрезвычайно ответственным моментом преподавания. Поясняющее описание не обязано, конечно, вскрывать всей полноты смысла нового понятия (иначе оно было бы определением); оно может ограничиться указанием на те или другие моменты этого смысла, но мы должны со всей тщательностью избегать такого положения вещей, когда поясняющее описание в угоду большой «доходчивости» искажает смысл понятия, ибо такое искажение, сколь бы безобидным оно ни казалось, в дальнейшем неизбежно приведет к прямым логическим ошибкам. Достаточно вспомнить тот, с трудом искоренимый вред, который приносит (к сожалению, довольно распространенное) упрощенчество к трактовке основных понятий анализа бесконечно малых.

Нам остается рассмотреть вопрос о том, в какой мере логическому различию между определениями и  {100}  поясняющими описаниями должно соответствовать методическое различие в обращении с этими двумя приемами введения новых понятий и в чем должно состоять это методическое различие. Мы склонны придавать этому вопросу большое значение, так как, по нашему представлению, в этом отношении у нас делается немало ошибочного и вредного.

В письмах учителей мы очень часто встречаем вопросы, подобные следующим: «Какое определение угла правильно — как меры наклона и т. д., или как части плоскости и т. д.?», «Какое определение числа более научно — как результата счета или измерения, или как того свойства множества, которое остается после отвлечения от природы и порядка элементов?». Обилие вопросов подобного рода, отрадным образом свидетельствуя о наличии в нашем учительстве живого интереса к математическому определению как проблеме методики, вместе с тем с определенностью показывает, что во многих случаях у самих учителей нет еще полной ясности в том, как ставится эта проблема.

Те вопросы, которые мы привели выше, и все подобные им, конечно, основаны на недоразумении. Прежде всего ни одно из конкурирующих по мысли вопрошающего «определений» не есть определение: все это — поясняющие описания, имеющие целью вскрыть тот или другой момент нового понятия. Отсюда вытекает, что если одно из них «правильно», или «научно», т. е. не искажает смысла понятия, то вовсе не обязательно, чтобы другое было «менее правильным», или «менее научным». Они вовсе не противоречат друг другу и даже не конкурируют друг с другом, а, напротив, как мы видели выше, весьма полезным образом дополняют друг друга.

Из этого неправильного понимания логической ситуации вытекают, естественно, и методические ошибки. Сюда относится прежде всего весьма распространенный у нас обычай заставлять учащихся заучивать наизусть такие «определения», которые на самом деле вовсе определениями не являются. Когда нам пришлось увидеть сорок письменных работ, каждая из которых начиналась вопросом: «Что есть отношение?», за которым следовал один и тот же зазубренный ответ: «Отношение есть результат сравнения и т. д.», то мы должны признаться, что восприняли это как надругательство над мыслящим  {101}  человеком в ребенке, ибо приведенное «определение» отношения есть, конечно, никак не определение, а лишь громоздкая многословная попытка поясняющего описания, заучивать которую наизусть есть очевидная нелепость.

Недавно проф. С. А. Яновская рассказывала нам про одного мальчика, хорошего ученика, возмущавшегося тем, что ему снизили отметку за неумение ответить на вопрос: «Что такое дробь?». Мальчик этот возмущенно говорил: «Я понимаю, для чего нужно уметь умножать и делить дроби, но скажите мне, где применяется определение дроби?». Мы должны признаться, что мы целиком на стороне этого ученика, ибо то «определение» дроби, которое может дать курс элементарной арифметики, в лучшем случае способно служить полезным поясняющим описанием. Если ученик воспользовался этим описанием, чтобы быстрее и лучше овладеть аппаратом дробей, то это все, чего от него можно ожидать. Требование же, чтобы это описание учащиеся заучивали наизусть, нельзя назвать иначе как методической нелепостью.

Если мы иногда требуем, чтобы подлинные определения заучивались учениками дословно, то это имеет свои веские методические основания. Логическое определение есть формула, из которой нельзя выкинуть и к которой нельзя добавить ни одного слова, не искажая ее смысла, поэтому, требуя от учеников дословного запоминания таких определений мы, воспитываем в них именно то бережное отношение к такому определению, какого оно заслуживает в силу своей логической природы. Полезно, полагали бы мы, показывать даже ученикам на примерах, как немедленно искажается смысл определяемого понятия, если в его определении мы изменим хотя бы одно слово; такого рода примеры заставят учащихся понимать, что дословное заучивание определений является актом высокой логической культуры, а не схоластической зубрежкой.

Но какой смысл может иметь заучивание наизусть таких фраз, которые имеют своей целью пояснить новое понятие путем апелляции к привычным представлениям учащихся? Не говоря уже о том, что таких поясняющих описаний для одного и того же понятия может быть дано несколько (и чем больше, тем лучше) и что, следовательно, выбирая одно из них для дословного заучивания,  {102}  мы наводим учащихся на неверную мысль, будто это выбранное нами пояснение чем-то принципиально логически выделяется среди других, не говоря уже обо всем этом, необходимо учесть, что в каждом таком поясняющем описании мы можем, не уменьшая его методической действенности и не искажая смысла поясняемого понятия, весьма многими способами варьировать его текст. Совершенно ясно, что при этих условиях дословное заучивание таких пояснений означало бы безосновательную фиксацию более или менее случайного текста. Такая фиксация может иметь и фактически имеет целый ряд вредных последствий. Главное из них заключается в том, что внимание и усилия учащихся направляются в первую очередь на формальные моменты заучиваемого пояснения, между тем как по своей логической природе и своему методическому назначению это пояснение таково, что формальные моменты играют в нем весьма подчиненную роль. Реальные же связи, направленные на практическую действенность, при таком заучивании, естественно, отодвигаются на второй план и часто совершенно утрачиваются, между тем как в них-то и заключается, конечно, вся цель пояснения. Если ученик, о котором мы говорили выше, в свое время хорошо использовал данные ему пояснения понятия дроби, если он в совершенстве овладел аппаратом дробей, чувствует его реальные связи и разбирается в его практических применениях, то для какой же цели будем мы требовать от него дословного запоминания той или другой сообщенной ему в свое время поясняющей фразы? Ведь это не определение, каждое слово которого имеет незаменимый ничем логический вес, чрезвычайно важный для последующих формальных рассуждений. Это — непритязательное поясняющее описание, которым ни для каких формальных выводов мы никогда не сможем воспользоваться, роль которого после усвоения данного раздела полностью исчерпана и дословное заучивание которого мы должны поэтому рассматривать как вредную, искажающую истинное положение вещей, схоластическую нелепость.

На основе подробно рассмотренного нами специального вопроса о дословном заучивании мы ясно видим теперь те методические различия, которые должны иметь место между введением новых понятий посредством  {103}  определений и посредством поясняющих описаний. Добавим еще, что во избежание смешений мы считали бы полезным, чтобы описания, которые не являются определениями, в учебниках не подчеркивались, не выделялись никаким особым шрифтом и чтобы, там, где это желательно, введение нового понятия сопровождалось не одним, а несколькими такими пояснениями. Совсем не обязательно, чтобы автор учебника должен был делать выбор между фразами: «Угол есть мера наклона и т. д.» и «Угол есть часть плоскости и т. д.». Будет лучше всего, если он приведет в пояснение новому понятию обе указанные картины, конечно в надлежащем контексте, и не выделяя ни одной из них в качестве основоположного догмата.

Заметим, наконец, что рекомендуемое нами тщательное методическое разграничение между определениями и простыми описаниями будет иметь еще и тот важный эффект, что с ранних лет приучит детей предъявлять к определениям те строгие логические требования, которые по отношению к ним являются обязательными, а не валить в одну кучу под именем «определений» все безответственные фразы, произносимые по поводу вновь вводимых понятий. Этим будет устранен один из тяжелых дефектов логической культуры, распространенных в наше время среди оканчивающих среднюю школу, — дефект, злокачественные последствия которого тяготеют подчас над учащимися на всем протяжении высшей школы, а в отдельных случаях даже и за ее пределами.