Понятие числа в средней школе

Понятие числа является основным стержнем всего школьного курса математики, пронизывающим этот курс от первого до последнего класса. Историческая эволюция этого понятия воспроизводится, таким образом, в сознании учащегося на протяжении долгого периода, и при том такого периода, в течение которого рост сознания школьника можно уподобить росту сознания человечества за всю историю его сознательной жизни. И подобно тому, как в сознании мыслящего человечества понятие числа, подымаясь от ступени к ступени, в разные эпохи не только по содержанию, но и по стилю, научному уровню и логической зрелости, являло собой совершенно различную картину,— точно так же нельзя говорить и о едином понятии числа, соответствующем уровню сознания  {30}  школьника. На протяжении школьного обучения понятие числа не только обогащается по содержанию, включая в себя все новые и новые классы чисел, но и качественно эволюционирует вместе с сознанием учащегося, приобретая новые черты и оттенки и поднимаясь на все более высокие ступени абстракции и логической завершенности. Самая мотивировка последовательных расширений понятия числа, естественно, на разных ступенях развития должна принимать совершенно различные формы подобно тому, как в истории науки эти последовательные расширения, имея своей общей основой потребности человеческой практики, фактически завоевывали свое право на жизнь, апеллируя к весьма различным запросам и чертам человеческого сознания. Если введение дробей мы можем непосредственно мотивировать реальными потребностями практики, и вряд ли достигли бы лучших результатов, пытаясь на данном уровне детского сознания апеллировать к вопросам более теоретического характера, то при введении отрицательных чисел мы уже можем рассчитывать на существенный педагогический эффект того замечания, что в новой области вычитание становится неограниченно выполнимым; при введении иррациональных чисел, кроме аналогичной аргументации, мы можем с успехом ссылаться и на теоретические нужды геометрии; а введение комплексных чисел совершается в таком возрасте, когда довольно высокие требования теоретического развития, предъявляемые этим последним расширением понятия числа, уже должны быть налицо у нормально развитого учащегося; таким образом, не только ступень, продвинутость самой эволюции, но и уровень понимания этого эволюционного процесса, естественно, совершенно различны на различных стадиях обучения. И, конечно, только в последнем классе уместен достаточно полный, систематизирующий ретроспективный¹ взгляд на общую картину завершившегося эволюционного процесса.

Понятие числа отличается от многих других понятий школьного курса математики своей первичностью. Это значит, что в подавляющем большинстве логических построений математики понятие числа относится к разряду тех понятий, которые не определяются через другие  {31}  понятия, вместе с аксиомами входят в состав первоначальных данных. Это значит, что математическая наука не содержит в себе ответа на вопрос «что такое число?» — такого ответа, который состоял бы в определении этого понятия через другие, ранее установленные понятия; математическая наука дает этот ответ в другой форме, перечисляя свойства числа, выраженные в аксиомах. Тем более, конечно, бессмысленной и безнадежной является всякая попытка определения этого понятия в школьном курсе арифметики и алгебры; и в особенности следует остерегаться довольно распространенной тенденции к созданию суррогатов такого определения, когда за определение понятия выдается перечисление тех моментов человеческой практики, в которых мы с этим понятием встречаемся; конечно, надо, чтобы школьник знал, как и почему потребности счета и измерения привели к возникновению и последовательному расширению понятия числа; но заставлять детей заучивать фразы, вроде «число есть результат счета или измерения», «отношение есть результат сравнения» и т. д., и считать эти фразы ответами на вопросы «что такое число?» и «что такое отношение?», т. е. определениями этих понятий, означает сознательно прививать учащимся логическую расплывчатость и неразбериху, смешение логического определения с генетическим описанием. Из подобного рода «определения» учащийся узнает о числе столько же, сколько человек, никогда не слыхавший слова «война», узнает о ней из фразы «война есть результат столкновения государственных интересов».

Мы считаем важным настаивать на том, чтобы весь курс школьной математики был освобожден от каких бы то ни было попыток прямого ответа на вопрос «что такое число?», потому что каков бы ни был этот ответ, он будет вульгарным и искажающим логическое содержание проблемы. Но нас, конечно, спросят, как же быть учителю, если ученик поставит этот вопрос. Отвечаем: поступать как всегда, т. е. говорить правду; ответить ученику, что поставленный им вопрос есть одна из труднейших задач научной философии, от полного разрешения которой мы еще далеки; что число, как всякое математическое понятие, есть отражение в нашем сознании некоторых отношений действительного мира; но что вопрос о том, какие именно отношения действительного  {32}  мира находят себе выражение в понятии числа, вопрос о том, какие отношения являются количественными, — есть глубокая и трудная философская задача; математика же может только показать изучающему ее, какие бывают числа, каковы их свойства и как над ними можно и нужно действовать. Если такой ответ ученика не удовлетворит, то это будет означать только, что данный ученик не созрел до правильного понимания той задачи, которая содержится в поставленном им вопросе: с этим учитель должен примириться; лучше подождать год-другой с ответом, чем подменять этот ответ суррогатом, вульгаризирующим проблему.

Но если мы отказываемся от логического определения понятия числа в школьном курсе математики, то это не значит, конечно, что формирование и эволюцию тех представлений и ассоциаций, которые связывает учащийся со словом «число», мы можем предоставить самотеку. Напротив, каждый учитель обязан твердой рукой, на протяжении всего срока обучения, вести учащихся к созданию правильного, отчетливого и возможно зрелого в научном отношении представления о числе, подчеркивая все то, что способствует созданию такого представления, и отметая все то, что его искажает и фальсифицирует.

Каково же это правильное представление о числе, какова доступная школьнику в формировании этого представления ступень научной зрелости и каким путем создание этого представления может быть достигнуто?

Мы считаем, что весь курс арифметики и алгебры должен быть ориентирован на постепенное создание и укрепление у учащихся представления о числе как об объекте арифметических операций. Само собой разумеется, что эта (или равносильная ей) фраза не только не может служить определением понятия числа, но и вообще в школьном курсе не должна быть произносима. Но если учащийся исподволь, путем умелых ударений и косвенных указаний со стороны учителя, в конце X класса будет со словом «число», хотя бы полусознательно, ассоциировать нечто такое, что можно складывать, умножать и т. д., то мы сможем с уверенностью сказать, что в отношении понятия числа школа сумела внушить ему то лучшее и высшее, что она могла дать; платформа для дальнейшего математического развития, если таковое потребуется, будет при этом подготовлена наилучшим  {33}  образом; именно такое представление о числе, будучи, с одной стороны, безусловно доступным сознанию школьника на заключительном этапе его развития, в то же время открывает все двери в область научных концепций современной алгебры.

Высказанный нами тезис, конечно, никак не должен быть понимаем в качестве призыва к отрыву от реальных связей понятия числа. Само собой разумеется, что отстаиваемое нами результативное представление о сущности числа не исключает, а, напротив, обязательно включает в себя идею числа как отражения реальных соотношений и зависимостей. Все преподавание арифметики и алгебры проводится, как об этом будет сказано ниже, под знаком борьбы против формализма и с полным учетом материального содержания каждой новой разновидности понятия числа и каждой новой алгебраической операции; самые операции арифметики и алгебры должны не терять в сознании учащихся своего материального, вещественного содержания, вследствие чего и представление о числе как об объекте этих операций, будучи зрелым плодом достигнутой ступени обобщения и абстракции, не может и не должно знаменовать собой отрыва от реального источника этого отвлеченного понятия; напротив, оперативность, связываемая с идеей числа, должна подчеркивать, напоминать и укреплять в сознании учащихся связи и применения этой идеи.

В дальнейшем изложении мы последовательно коснемся различных этапов развития понятия числа; при этом все наше внимание будет сосредоточено на логической природе каждого нового расширения; методические же выводы мы будем рассматривать лишь постольку, поскольку они связаны с реализацией этой логической природы в процессе преподавания. Поэтому все последующее не может, разумеется, претендовать на роль методической разработки, подобно тому как и вся настоящая статья не может представлять собой методического руководства.

Нуль

Первое расширение понятия числа, с которым встречается учащийся, совершается в тот момент, когда к натуральным числам присоединяется нуль.  {34} 

В нашей методической литературе до сих пор продолжается дискуссия по вопросу о том, следует ли в школе считать нуль числом или оставить за ним лишь значение символа, указывающего на отсутствие в данном числе единиц соответствующего разряда. Мы полагаем, что последнее предложение может быть только плодом недоразумения; нет решительно никаких оснований становиться в школьном преподавании в противоречие с научным строением арифметики; такая позиция практически приводит к явно нетерпимым выводам и следствиям, угрожающим в конечном счете полной невозможностью сколько-нибудь систематического построения учения о числе. В самом деле:

1. Вся современная наука признает нуль числом.

2. Если мы нуль не признаем числом, то мы вынуждены признать, что разность (после введения отрицательных чисел — и сумма) двух чисел может не быть числом.

3. Если мы нуль не признаем числом, то мы вынуждены производить арифметические действия (сложение, вычитание, умножение) над тем, что не есть число. Напротив, признавая нуль числом, мы получаем возможность уже на ранней стадии обучения заронить в сознание учащихся тот оперативный принцип, о котором мы говорили выше (примерно по схеме: «нуль можно прибавлять и вычитать, на нуль можно умножать,— значит, нуль есть число»).

4. Наконец, отпугивающее многих методистов возведение в ранг числа такого символа, который до сих пор означал как раз отсутствие единиц соответствующего разряда, на самом деле не только не является антинаучным или нарушающим логический порядок изложения, но, напротив, служит первым и очень ярким примером реализации в математике диалектического закона единства противоположностей. Когда позднее мы учим школьников понимать целое число как частный случай дробного, вещественное — как частный случай комплексного, постоянную величину — как частный случай переменной и т. д., то все это — проявления одного и того же закона диалектической логики, проявления, чрезвычайно характерные для всего стиля математической науки: понятие, первоначально возникшее как антитезис некоторому данному понятию, первоначально стоящее к нему в отношении  {35}  явно выраженного антагонизма,— позднее, будучи поднято на более высокую ступень, синтезирует с ним в едином общем лоне, причем, конечно, оба понятия в полной мере сохраняют в этом единстве противоположные черты. Так и нуль, нисколько не теряя своего реального значения и всех своих специфических особенностей, возникая первоначально как антитезис, как отрицание по отношению к натуральному числу, в дальнейшем развитии понятия числа становится в одну колонну с рядом натуральных чисел, выступает как продукт операций над натуральными числами, подчиняется одинаковым с ними законам и правилам и тем самым приобщается к миру чисел.

Так обстоит дело в принципиальном плане. В сознании учащихся картина должна, естественно, складываться в значительно упрощенном виде; но упрощение не должно повлечь за собой ни искажения, ни вульгаризации. После того как нуль прочно вошел в сознание школьника в качестве символа, указывающего на отсутствие в данном числе единиц того или иного разряда, и стал, таким образом, привычным орудием письменной нумерации, учащийся, овладевая действиями над многозначными числами, исподволь и постепенно, в самой практике арифметических операций привыкает к тему, что нуль появляется и как результат действий, производимых над натуральными числами, и даже как прямой объект этих действий. После этого учитель в надлежащий момент говорит: так как над нулем мы производим действия столь же просто и успешно, как и над числами, и всем правилам этих действий нуль подчиняется так же хорошо, как и числа, то мы с вами уговоримся считать его теперь числом, и этого нашего уговора будем всегда придерживаться.

Приобщение нуля к миру чисел, в силу возможности производить над ним арифметические действия, явится первым шагом в деле привития сознанию учащегося того оперативного принципа, о котором мы говорили во введении к настоящей статье.

Дроби

Практическая мотивировка введения дробных чисел настолько убедительна и доступна детскому сознанию, что не нуждается здесь ни в каких пояснениях.  {36} 

С логической точки зрения несколько моментов должны быть подчеркнуты.

1) Целые числа, вначале противополагаемые дробным, выступают затем как разновидность, как частный случай этих последних; здесь мы имеем второй случай реализации закона единства противоположностей в арифметике, и этому моменту должно быть уделено особое внимание. Ничего, разумеется, не говоря детям ни о каких законах диалектики, учитель должен озаботиться тем, чтобы в сознании его учеников прочно улеглась картина расширенного мира чисел, в котором давно известные учащимся целые числа занимают свое особое место (а не находятся вне его).

2) Невозможность деления на нуль является следствием той особой природы этого числа, которую оно сохраняет и после приобщения его к числовому миру. Так как этот запрет является универсальным, т. е. сохраняющим свою силу при всех дальнейших расширениях понятия числа, то он должен быть высказан и постоянно напоминаем в самой категорической форме. На всем протяжении школьного курса необходимо тщательно избегать каких бы то ни было записей, содержащих нуль в знаменателе. Так, говоря о том, что уравнение 0·х = 1 не имеет решений, следует мотивировать это заключение тем, что 0·х при любом х равно нулю и, следовательно, ни при каком х не может равняться единице. Напротив, не следует рассуждать так: «Из 0·х = 1 вытекает х = ¹/₀, а так как выражение ¹/₀ не имеет смысла, то данное уравнение не имеет решений»; при таком рассуждении мы фактически производим деление на нуль, лишь потом констатируя, что полученное выражение не имеет смысла; между тем как задача состоит как раз в том, чтобы приучить учащихся никогда не предпринимать попытки деления на нуль. Мы не говорим уже о том, что довольно распространенные в нашей школе записи вроде ¹/₀ = ∞ и т. п. в корне порочны, ведут к неисчислимым заблуждениям и вредным навыкам и потому со всей решительностью должны быть изгнаны из школьной практики.

3) Мы считаем нужным сделать несколько замечаний по вопросу о роли и месте десятичных дробей и процентных  {37}  вычислений в курсе арифметики. Опыт показывает, что в этом вопросе простейшие факты часто остаются неосознанными самим учителем, а это обстоятельство в свою очередь влияет на весь стиль преподавания, на те общие точки зрения, в свете которых учебный материал преподносится школьникам.

Источником неясностей служат самые термины «десятичные дроби» и «проценты», создающие впечатление, будто здесь речь идет о дробных числах какой-то новой природы. На самом деле, разумеется, имеются в виду те же дроби, с которыми учащиеся уже подробно освоились, и вопрос возникает лишь о новом аппарате для изображения все тех же старых чисел, о новой форме записи дробей. Было бы гораздо лучше и значительно способствовало бы правильному пониманию вопроса, если бы соответствующие главы носили названия «Десятичная запись дробей» и «Процентная запись дробей», так как 0,2 от ¹/₅, 0,(3) от ¹/₃, 45% от ⁹/₂₀ не отличаются ничем, кроме формы записи, и чем раньше и чем прочнее это обстоятельство будет усвоено учащимися, тем легче они справятся с трудностями, связанными с десятичными и процентными расчетами; по нашему прочному убеждению, значительная часть этих трудностей вызывается стремлением авторов учебников, методистов и учителей искусственно создать какое-то «предметное» различие между выражениями 0,6 и 60% — различие, которого не знает наука (попросту отождествляющая смысл этих выражений) и которое измышляется специально для школьных нужд; мы решительно стоим за изгнание из школьного курса всякого подобного паразитического псевдонаучного багажа, исходя при этом из твердой уверенности, что специально придуманные нагромождения, неспособные получить четкого логического содержания, ни в одном случае не могут облегчить понимания соответствующих понятий, а напротив — во всех случаях лишь затрудняют их отчетливое понимание. В этом контексте необходимо упомянуть еще об одном аналогичном нагромождении: вместо того чтобы попросту определить отношение двух чисел как их частное, детей заставляют заучивать «определение», согласно которому «отношение есть результат сравнения» и т. д.,— фразу, в которой никто не сумеет открыть точного смысла.  {38} 

Особенно тяжело обстоит дело с процентами. Вместо того чтобы с самого начала с исчерпывающей ясностью указать, что проценты представляют собой лишь особую форму записи дробей и что поэтому не существует и не может существовать никаких «задач на проценты», а что, напротив, любая задача с дробными данными может быть поставлена и решена в процентной записи и обратно,— вместо всего этого предельно ясного подхода к делу у нас создают какой-то культ процентов, гипостазируют¹ их до присвоения им особого предметного содержания, создают для них особую теорию и особую категорию задач, словом, делают все возможное для того, чтобы в представлении школьника процент вырос в новое, чуждое и трудное понятие, требующее специального подхода и специальных методов исследования. А за этим, как правило, констатируют, что «проценты плохо усваиваются учащимися».

О процентной записи дробей мы считаем нужным сделать еще одно замечание. У учащихся может возникнуть вопрос, зачем понадобилась еще эта новая форма записи дробных чисел, если две формы — обыкновенная и десятичная — уже имеются. Старые курсы арифметики на это отвечали указанием, что эта форма записи принята в коммерческих расчетах; не говоря уже о том, что такой ответ и в старое время ничего, конечно, не разъяснял, ясно, что в советской практике процентные расчеты получили такое широкое применение, перед лицом которого этот ответ является совершенно устарелым. А между тем наш учитель часто сам затрудняется с достаточной четкостью на этот вопрос ответить. Поэтому мы считаем полезным уделить ему несколько слов.

Если мы хотим быстро, на глаз сравнить по величине две дроби, например ⁸/₂₃ и ¹²/₃₅, то этому мешает то, что дроби эти выражены в различных долях (имеют разные знаменатели). Для элементарных практических надобностей «поэтому целесообразно по возможности пользоваться (хотя бы приближенным) выражением дробных чисел в одних и тех же долях, т. е. в виде дробей с одним и тем же знаменателем. Какое же чисто всего удобнее  {39}  выбрать в качестве такого универсального знаменателя? Потребности десятичной системы счисления и метрической системы мер ясно указывают, что в качестве такого числа следует выбрать либо 10, либо 100, либо 1000 и т. д. Дальнейший выбор производится уже на основе чисто практических соображений. Если универсальный знаменатель выбрать слишком малым, то может случиться, что при пользовании целыми числителями мы получим слишком сильное округление, так что точность для большинства практических целей окажется недостаточной. Напротив, если универсальный знаменатель выбрать чрезмерно большим, то мы получим хорошую точность приближения, но вместе с тем и числители окажутся числами слишком большими и поэтому неудобными для практических расчетов. Как показывает практика, именно выбор числа 100 в качестве универсального знаменателя наилучшим образом удовлетворяет всем запросам элементарных расчетов: при пользовании целыми числителями мы получаем в этом случае такие приближения для любых величин, которые в большинстве практических расчетов дают вполне достаточную точность; с другой стороны, числители, как правило, оказываются при этом сравнительно небольшими числами, с которыми нетрудно оперировать.

Но выбрать число 100 в качестве универсального знаменателя — это и означает перейти к процентной записи дробных чисел. Разумеется, пользование целыми числителями все же не во всех случаях дает требуемую степень точности; иногда мы вынуждены бываем добавлять в числителе один и даже более десятичных знаков после запятой (86,3%), что фактически означает переход от процентов к промиллям и т. д.