Определение понятий в математической науке

В «Арифметике» А. П. Киселева¹ издания 1938 г. вычитание определяется как действие, состоящее в том, что от одного числа отнимается столько единиц, сколько их содержится в другом данном числе. В предшествующих изданиях того же курса вычитание определялось как действие, состоящее в отыскании одного из слагаемых по данным сумме и второму слагаемому. Это изменение вызвало оживленную дискуссию среди методистов и учительства, в частности, очень многие нашли введенное А. П. Киселевым изменение нецелесообразным и высказались за сохранение старого определения. Мотивировка, там, где она имелась, бывала различной, но чаще всего  {87}  сторонники старого определения указывали на желательность сохранения аналогии с определением деления (отыскание одного из сомножителей по данным произведению и другому сомножителю); напротив, приверженцами нового определения указывалось, что здесь сохраняется аналогия с определением сложения. В этой дискуссии ни разу, однако, не было замечено, что спор идет вовсе не между двумя логически равноправными претендентами. В то время как в прежних изданиях учебника имелось подлинно научное определение, ибо здесь понятие вычитания целиком редуцировалось¹ к уже известным, ранее определенным понятиям (слагаемое, сумма),— изменение, внесенное в издании 1938 г., означало полный и принципиальный отказ от всякого определения понятия вычитания и замену определения поясняющим описанием: ибо когда говорится «вычесть, значит, отнять», то это означает замену термина «вычитание» термином «отнимание», который, может быть, звучит несколько привычнее для математически не искушенного уха, но логическое определение которого, очевидно, нисколько не проще определения термина «вычитание». Таким образом, в издании 1938 г. автор совершенно сознательно признает нецелесообразным давать ученикам какое бы то ни было определение действия вычитания и рекомендует при введении этого понятия ограничиться не претендующим ни на какую определяющую ценность поясняющим описанием (подобно тому как в отношении сложения это делалось и во всех прежних изданиях). Вопрос о том, насколько это нововведение методически целесообразно, нас в данный момент интересовать не должен; нам важно было только установить, что в дискуссии, возникшей по этому вопросу, самая альтернатива² ставилась в большинстве случаев неправильно: надо было говорить не о том, какое из двух якобы конкурирующих определений лучше, а о том, целесообразно ли в курсе элементарной арифметики определять понятие вычитания или же следует при введении этого понятия ограничиться пояснительным апеллирующим к привычным терминам описанием. Эта правильная постановка  {88}  вопроса, если бы она была сделана, без всякого сомнения, значительно повысила бы продуктивность дискуссии.

В письмах учителей часто подвергается резкой критике и «определение» сложения: анализируя это «определение», авторы писем указывают, что оно является тавтологическим и ничего в сущности не определяет; некоторые из этих товарищей рекомендуют вовсе отказаться от попытки определить сложение и признать его первичным, неопределимым понятием. Всем этим критикам надо ответить, что они с воодушевлением и сарказмом ломятся в открытую дверь. Все их критические замечания совершенно правильны, но дело в том, что стабильный учебник (да и вообще любой курс элементарной арифметики) никогда и не пытался определять понятие сложения; это было бы по отношению к возрастному составу учащихся совершенно безнадежной задачей, как это ясно любому методисту. То, что эти критики принимают за определение и в качестве такового подвергают суровому осуждению, на самом деле, по мысли автора, является, конечно, только непритязательным описанием, имеющим целью облегчить усвоение нового понятия; можно признавать его удачным или неудачным методически, но не имеет никакого смысла подвергать анализу и критической оценке его логическую ценность, ибо оно никаких притязаний на такого рода ценность не имеет.

Мы привели эти примеры для того, чтобы показать, как недостаточно ясное понимание основных черт и особенностей математического определения способно привести к недоразумениям и беспочвенным, а потому и бесплодным дискуссиям. Далеко не всякая фраза, произнесенная в целях пояснения вновь вводимого понятия, может претендовать на роль определения этого понятия, и игнорирование этой истины часто является источником недоразумений.

Определением нового понятия может быть признана (и фактически признается в науке) только такая формулировка, которая без остатка редуцирует новое понятие к уже знакомым понятиям той же научной области. Когда мы говорим, что абсолютно простым называется число,, имеющее только два делителя, то это — определение, ибо здесь новое понятие нацело сводится к понятиям той же научной области, введенным уже ранее. Подобным же  {89}  образом, когда мы говорим, что деление есть отыскание одного из сомножителей по данным произведению и другому сомножителю, то мы даем подлинное определение соответствующего арифметического действия.

Если же при введении нового понятия мы в целях его пояснения полностью или хотя бы частично апеллируем¹ не к ранее введенным понятиям той же научной области, а к представлениям, заимствованным из житейского опыта, из других наук, из той или иной практической деятельности, то такое поясняющее описание при всей его педагогической ценности никак не может быть названо определением. Когда мы говорим, что угол есть мера взаимного наклона двух прямых, то это очень ценное в педагогическом отношении пояснение, но, конечно, никакого определения здесь нет, уже потому, что термин «наклон», к которому мы хотим свести новое понятие, нигде и никак в предшествующем изложении не определен. Когда мы говорим, что «число есть результат счета или измерения», то эта фраза очень хорошо указывает основные применения понятия числа в человеческой практике, но, конечно, никак не может быть принята за определение понятия числа, так как счет и измерение никак не могут рассматриваться в качестве арифметических понятий, определяемых и вводимых ранее понятия числа.

При построении и при изложении всякой математической (а строго говоря, и всякой другой) науки мы неукоснительно требуем, чтобы каждое новое вводимое понятие было определяемо в указанном нами точном смысле. С понятиями, которым такого определения не дано, математическая наука по самой сущности своей работать не может. Это обстоятельство, как известно, приводит к одной характерной трудности. Всякая наука имеет свое начало, свои первые, основные понятия, введением которых начинается ее изложение. Как могут быть определены эти понятия, если определением мы назвали редукцию к уже ранее введенным понятиям той же научной области?

Допустим, что мы излагаем геометрию и в качестве первого простейшего понятия избираем понятие точки —  {90}  простейшего геометрического образа. Можем ли мы определить это понятие? Очевидно, что не можем, так как это — первое понятие в данной науке, никаких предшествующих понятий нет, а потому и редуцировать к ним понятие точки мы не можем. Совершенно ясно, что с подобным положением вещей мы неизбежно должны встретиться при построении любой математической науки.

Хорошо известно, как современная математическая наука выходит из этого затруднения. В начале каждой научной области вводится группа из небольшого числа первичных, неопределяемых понятий. Явно указывается, что эти первичные понятия не могут и не должны быть определяемы, вместе с тем категорически требуется, чтобы после перечисления первичных, неопределимых понятий всякое вводимое в дальнейшем новое понятие уже подверглось точному определению, т. е. полному сведению либо к первичным, либо к другим ранее определенным понятиям.

Однако если первичные понятия не определяются, то это не значит, что с них не требуется ничего, кроме их названий. Между этими первичными понятиями устанавливаются закономерные, обязательные во всех случаях взаимоотношения. Список этих взаимоотношений обязательно полностью приводится одновременно с введением первичных понятий; эти взаимоотношения первичных понятий составляют собой аксиомы, или первичные, недоказуемые истины данной научной области. Подобно тому как после составления списка первичных понятий всякое новое вводимое понятие обязательно подлежит точному определению, так и после установления списка аксиом всякая новая утверждаемая истина подлежит точному доказательству, т. е. логическому сведению к аксиомам или ранее доказанным истинам. Таким образом, первичные понятия не определяются, но при введении их перечисляются имеющиеся между ними формальные взаимоотношения, являющиеся аксиомами данной научной области. Чтобы пояснить сказанное, приведем в качестве примера одну из наиболее распространенных систем первичных элементов арифметики натуральных чисел (систему Пеано¹).

{91}

Первичные понятия

1. Число (натуральное).

2. Единица.

3. Следующее число.

Аксиомы

1. Единица есть число.

2. За каждым числом есть единственное следующее число.

3. Единица не следует ни за каким числом.

4. (Принцип полной индукции.) Если какое-нибудь утверждение верно для единицы и если всякий раз, когда оно верно для какого-нибудь числа, оно верно и для следующего числа, то это утверждение верно для любого числа.

Развитие науки показало, что действительно на базе этого запаса первичных понятий и первичных истин может быть построено все здание арифметики; все вновь вводимые понятия (в частности, понятия арифметических операций) точно определяются, все утверждаемые истины (в частности, все законы арифметических операций) строго доказываются (т. е. становятся теоремами).

Для нас во всем этом важен сейчас тот момент, который обычно недостаточно подчеркивают при изложении идей аксиоматического метода: в основе всякой математической дисциплины лежит несколько первичных понятий, не определяемых, но по отношению к которым с самого начала дается список имеющихся между ними формальных взаимоотношений; этот список составляет собою систему аксиом данной научной области; после того как перечислены все первичные понятия, всякое вновь вводимое понятие обязательно подлежит точному определению.

Сделаем еще одно последнее замечание. В системе первичных элементов геометрии, предложенной Гильбертом и пользующейся наибольшим признанием в современной науке, в качестве первичных понятий принимается точка, прямая линия и плоскость, но имеется большое число предлагавшихся другими авторами систем первичных элементов геометрии, — систем, в которых в роли первичных фигурируют совсем другие понятия. Если,  {92}  положим, в такой системе среди первичных понятий отсутствует понятие плоскости, то в данной системе это понятие становится уже не первичным, т. е. подлежит определению. Вообще список первичных понятий данной научной области отнюдь не определяется однозначно содержанием этой области, но может быть с формальной точки зрения произвольно выбираем применительно к той или другой системе изложения. Понятие, которое в одном изложении было первичным и потому неопределимым в данной системе, при другой системе изложения может стать подлежащим и доступным определению. Таким образом, определимость или неопределимость понятия не есть объективное его свойство, вытекающее из его содержания, но целиком зависит от принятой системы изложения.