О хинчине

• А. И. МАРКУШЕВИЧ — А. Я. ХИНЧИН КАК ПРЕПОДАВАТЕЛЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА • Б. В. ГНЕДЕНКО — АЛЕКСАНДР ЯКОВЛЕВИЧ ХИНЧИН • А. Я. ХИНЧИН КАК ПРЕПОДАВАТЕЛЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА •

{171}

А. Я. Хинчин как преподаватель математического анализа

Александр Яковлевич Хинчин счастливо сочетал эрудицию, глубину и творческий темперамент большого ученого с замечательным педагогическим мастерством.

Спокойно, неторопливо, негромким, но очень отчетливым и каким-то проникновенным голосом читал он лекции. Его курсы были невелики по объему, свободны от рассеивающих внимание подробностей. Но он не жалел времени на то, чтобы хорошо разъяснить важность и значение математического понятия, мотивировать постановку вопроса или задачи. Такую психологическую подготовку слушателей к восприятию нового для них научного материала Александр Яковлевич осуществляя неизменно, и в этом, быть может, больше чем в других особенностях его преподавания, сказывался педагог-мастер. Этим путем он добивался готовности аудитории к предстоящей серьезной умственной работе. Только при этом условии можно было ожидать, что слушатели проникнутся пониманием значения поставленной задачи, сознательно отдадутся руководству лектора и будут вслед за ним проходить через все этапы сложных математических построений, не ощущая ни безразличия, ни скуки. И действительно, в аудитории, где читал свои лекции А. Я. Хинчин, не было места пассивности. Лектор зорко наблюдал за студентами, добиваясь того, чтобы ход его рассуждений оставался посильным для каждого, добросовестно слушающего и думающего. Но добрейший Александр Яковлевич сурово хмурился, когда какой-либо  {173}  слушатель пытался отвлечься от прямого дела, заглядывая в книгу или газету или перешептываясь с соседом. Полного внимания и абсолютной тишины он требовал не только в стенах аудитории. Услышав шум в коридоре, он мог прервать изложение и вновь вернуться к обсуждаемому вопросу лишь после восстановления тишины. Но, кроме этих редких невольных отвлечений в сторону, А. Я. Хинчин охотно давал в своих лекциях место вставкам чисто педагогического характера. Видя в своих слушателях будущих педагогов, он нередко делился с ними соображениями о том, как излагать математический вопрос, чтобы добиться максимальной ясности, выпуклости и выразительности.

Одной из характерных особенностей А. Я. Хинчина как преподавателя высшей школы было то, что он не боялся браться за очень трудные педагогические проблемы, вырабатывая метод для их решения, и, убедившись в его эффективности, развивал и совершенствовал его в новых условиях. Замечательный пример достижений в этом направлении дают «Восемь лекций по математическому анализу», выдержавшие к настоящему времени четыре издания и переведенные на многие иностранные языки. Александр Яковлевич решил прийти на помощь тем широким кругам специалистов, которые, усвоив более или менее основательно алгорифмическую сторону математического анализа, научившись дифференцировать и интегрировать, хотели бы подвести под свои знания принципиальную, идейную и логическую базу. К этой категории специалистов, как указывал А. Я. Хинчин, относятся не только инженеры и экономисты, но также многие учителя и университетские студенты-математики. Все дело в том, чтобы дать возможность людям, знающим конкретные детали, оторваться от рассмотрения частностей и увидеть весь предмет в целом.

А. Я. Хинчин начал, как он писал в предисловии к первому изданию «Восьми лекций», с курса из 12 лекций, предназначенного для инженеров, повышавших свою математическую квалификацию при Московском университете, и курс этот, несмотря на его краткость, удовлетворил запросы слушателей. «Мне удалось найти правильный ключ к решению стоявшей передо мной педагогической задачи,— писал Александр Яковлевич, — я с  {174}  самого начала отказался от мысли излагать хотя бы одну главу своего предмета в полной подробности; вместо этого я ограничивался возможно выпуклым, конкретным и впечатляющим развитием принципиальных моментов, говорил больше о целях и тенденциях, о проблемах и методах, о связях основных понятий и идей анализа между собой и с приложениями, чем об отдельных теоремах и их доказательствах. Я не боялся в целом ряде случаев для ознакомления с неимеющими принципиального значения деталями доказательств (и иногда и с целыми цепями теорем и доказательств) отсылать моих слушателей к учебнику...»

Неправда ли, здесь в немногих чертах намечен своего рода «царский путь» в математику нашего времени? Но такой образ действий лектора важен не только для преподавания математики: его mutatis mutandis¹ можно смело рекомендовать для многих лекционных курсов естественных и гуманитарных наук, и именно в этом направлении следует искать средства высвобождения времени студентов для самостоятельной работы.

Конкретное осуществление замысла А. Я. Хинчина содержится в «Восьми лекциях». Можно не настаивать на том, чтобы весь материал книги был изложен в течение именно восьми двухчасовых лекций. Речь идет о 8 главах, объем каждой из которых колеблется от 24 до 42 печатных страничек небольшого формата (мы пользуемся третьим изданием книги). Каждая посвящена одному из фундаментальных вопросов математического анализа. Вот названия этих глав «лекций»: I. Континуум, II. Пределы, III. Функции, IV. Ряды, V. Производная, VI. Интеграл, VII. Разложение функций в ряды, VIII. Дифференциальные уравнения.

В нашей заметке мы ограничимся лишь немногими примерами тех приемов, благодаря которым Александр Яковлевич умел с первых же слов вовлекать читателя или слушателя в серьезную умственную работу, в которой тот ощущал себя полноправным творческим собеседником автора-лектора.

Например, лекция I, посвященная изучению понятия действительного числа, открывается вопросом: «Почему  {175}  математический анализ должен начинаться с изучения континуума?»

Автор, цитируя обычное определение функции, подчеркивает, что в этом определении, «как в зародыше, уже заложена вся идея овладения явлениями природы и процессами техники с помощью математического аппарата» (стр. 9). Это заставляет требовать от определения полной, безукоризненной ясности и, в частности, иметь полное представление о запасе всех значений, которые может принимать величина х.

«И совершенно так же, как мы должны тщательно исследовать почву, прежде чем дать ей выращивать нужные нам растения, мы в высшей математике, желая быть рачительными и научно, а не наудачу действующими хозяевами, прежде чем строить на базе понятия функциональной зависимости все здание этой науки, должны тщательнейшим образом изучить ту среду, в которой живет и развивается это понятие» (стр. 11). Таким образом мотивируется важность и необходимость изучения строения континуума. Далее автор сообщает о том, что все известные теории континуума «имеют своей целью, принимая в качестве первоначальной данности множество рациональных чисел, получать из него сразу всю совокупность всех вещественных чисел с помощью единого конструктивного принципа» (стр. 16), позволяющего затем обосновать операцию предельного перехода. После этого становится ясным, что нет нужды рассматривать различные способы обоснования теории действительных чисел, а достаточно в качестве образца лишь одного из них (теории Дедекинда).

В качестве другого примера возьмем начало III лекции, посвященной понятию функции. Здесь Александр Яковлевич сообщает слушателям, что приведенное в I лекции определение функции родилось и восторжествовало в тяжелой борьбе с засилием аналитического аппарата, тяготеющим с XVIII века над идеей функциональной зависимости. Чтобы раскрыть перед читателем существо вопроса, автор развертывает воображаемую дискуссию между «математиком» и «инженером» по вопросу о том, определяет или нет функцию некоторая система условий (речь идет, в частности, о функции Дирихле). Дискуссия заканчивается, разумеется, полной победой математика.  {176} 

В лекции о производной (лекция V) автор убеждает читателя, что «если мы хотим получить представление о том, как быстро меняется величина у при изменении независимой переменной x, насколько «чувствительна» функция f(x) к такому изменению, то мы должны, конечно, так или иначе сопоставить, сравнить между собой приращение функции у и то изменение h величины х, которое повлекло за собой это приращение...»

В результате, естественно, появляется отношение

f(x + h) – f(x) h

,

а затем и его предел, при h, стремящемуся к нулю. Мы ограничимся только этими примерами, отсылая читателя, который не знаком с «Восемью лекциями» Хинчина или читал, но успел забыть эту книгу, к первоисточнику, интересующему нас здесь прежде всего с точки зрения педагогического мастерства.

Если в «Восьми лекциях» Александр Яковлевич блестяще решил задачу обзора идейного содержания курса математического анализа, уже известного в основных чертах читателю, то в «Кратком курсе математического анализа» [144] он решает задачу дать такой учебник анализа для студентов I–II курсов университета, который по материалу был бы строго ограничен обязательными для каждого изучающего рамками программы и в то же время построен на вполне современном научном уровне.

В этом курсе, как и в «Восьми лекциях», автор не жалеет слов на то, чтобы читателю в каждый момент была ясна закономерность того пути, по которому он идет, и «чтобы при введении новых понятий и построении новых теорий учащийся по возможности заранее был подготовлен воспринять эти нововведения как естественные и даже неизбежные». Установки А. Я. Хинчина нам хорошо знакомы; автор подчеркивает, что «только этим путем можно добиться подлинного интереса к предмету и неформального его усвоения». Но в отличие от «Восьми лекций» в «Кратком курсе» нельзя было опускать детали доказательств и даже целые теоремы, предусмотренные программой. Напротив, чтобы облегчить труд читателя, который ведь впервые знакомится с предметом, «все рассуждения в курсе доведены до мельчайших деталей».

Особый интерес в книге А. Я. Хинчина представляет изложение теории пределов. Автор считает необходимым построить мост между тем несколько расплывчатым и  {177}  интуитивным понятием предела, которое выносится из средней школы, и формальным определением, использующим ε и δ, опирающимся на теорию действительных чисел. С этой целью он излагает сначала (в главе II) теорию пределов на основе представлений о «процессе» и его моментах, не определяя эти понятия. Далее, в главе III, понятие процесса описывается математически и соответственно уточняется понятие предела. Наконец, известным нам из «Восьми лекций» путем мотивируется необходимость построения теории действительных чисел (на этот раз берется теория Вейерштрасса) и на этой основе завершается теория пределов. В этом построении сказывается особая внимательность автора к читателю, впервые знакомящемуся с анализом. Заметим, однако, что весьма суженное понятие процесса¹ оказывается недостаточном, чтобы охватить в дальнейшем процесс образования интегральных сумм. Поэтому для определения интеграла автору приходится еще раз возвращаться к понятию предела, определяя смысл предела интегральных сумм (стр. 199–200).

Мы не будем останавливаться на других особенностях «Краткого курса». Отметим только, что А. Я. Хинчин, помимо детально разобранных в тексте примеров и задач, указывает в надлежащих местах немногочисленные номера упражнений по «Сборнику задач и упражнений по математическому анализу» (Гостехиздат, 1952) Б. П. Демидовича, которые нужно решить для лучшего уяснения теории. При этом подчеркивается, что для приобретения необходимых навыков нужны дальнейшие упражнения по указанию преподавателя. Ссылкам на упражнения автор придает немалое значение; по крайней мере ко второму изданию курса прилагается специальный указатель, где номера задач приводятся в соответствие с новым изданием задачника,

Книга заканчивается сжатым, но содержательным историческим очерком анализа, доведенным до наших дней.  {178} 

Если учесть, что автор в объеме всего 39 листов излагает весь двухгодичный университетский курс математического анализа, излагает его свежо, живо, интересно и доступно, то большое педагогическое мастерство А. Я. Хинчина представляется в особенно ясном свете. Можно не сомневаться в том, что книги А. Я. Хинчина по математическому анализу послужат еще многим и многим, изучающим математику, и надолго останутся образцами блестящего умения говорить о сложных вещах содержательно, доступно и увлекательно.

Академик АПН РСФСР А. И. Маркушевич

{179}