Приклад 15

Знайти величину найбільшої швидкості зміни функції: в точці ;

Розв’язання

Знайдемо частинні похідні ,

та довжину вектора

7. Частинні похідні вищих порядків

Як і для функції однієї змінної, коли перші частинні похідні є неперервними функціями в області визначення, тоді від них можна знаходити нові частинні похідні, які будуть похідними другого порядку функції .

Означення 24. Частинну похідну першого порядку по змінній від частинної похідної першого порядку функції по змінній називають частинною похідною другого порядку функції по змінним та і позначають:

або при x y, або при x y.

У випадку функції двох змінних маємо такі похідні другого порядку:

Якщо мішані частинні похідні другого порядку неперервні в точці , то справедлива рівність:

.

Аналогічно визначають похідні порядку вище другого. Так ; і т. д.

Частинні похідні першого та другого порядку використовуються в економічній теорії для дослідження моделей споживання, виробничих функцій та для розв’язування задач оптимізації виробництва.

Приклад 16

Довести, що функція задовольняє рівняння . (26)

Розв’язання

Знайдемо частинні похідні першого порядку

Підставимо знайдені значення та у ліву частину рівняння (26) і одержимо:

.

Отже, задана функція задовольняє рівняння (26).

8. Застосування частинних похідних в економічних задачах

Для аналізу економічних механізмів широко використовуються лінії рівня виробничих функцій (ізокванти) та лінії рівня витрат ресурсів (ізокости).

Частинні похідні першого та другого порядку використовуються для опису формальних властивостей функцій виробництва (виробничих функцій), а саме: перші похідні – характеризують граничну продуктив-ність ресурсів x та y; другі похідні характеризують закон спадаючої ефективності; змішані похідні другого порядку граничну корисність ресурсів; відношення похідних – граничну норму заміни ресурсу y на ресурс x; відношення граничної продуктивності ресурсу до його середньої продуктивності характеризує еластичність випуску по ресурсу x ( y)

сума характеризує еластичність виробництва. Для функції корисності похідні характеризують граничну корисність. Якщо вимірювати кількість товару Z в вартісній формі (x, y – вартості одиниці товару) , то – характеризують попит на відповідний товар x (y), а відношення – характеризують еластичність вартості товару відносно x (y) – відповідно.

9. Екстремум функції багатьох змінних

9.1. Локальний екстремум функції багатьох змінних

Для дослідження функції двох і більше змінних та побудови їх графіків потрібно визначити як вузлові точки функції, до яких відносяться точки екстремуму, сідлові точки, так і області зростання, спадання та опуклості функції.

Означення 25. Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції якщо існує такий -окіл точки M, що для всіх точок виконується нерівність:

На рис. 4 точки та це точки локального мінімуму, а точка M - максимуму. Зрозуміло, що в означенні йде мова лише про – окіл точок екстремуму, тому він носить локальний характер. Образно кажучи, в точках екстремуму функція повинна мати вигляд “шапочки” вершиною вверх (для точок максимуму) чи вниз (для точок мінімуму).

Сформулюємо необхідну умову екстремуму для функції багатьох змінних (багатовимірна теорема Ферма ).