- •Інститут економіки та нових технологій Кафедра прикладної математики та математичного моделювання
- •Передмова
- •І. Основні питання, що вивчаються в розділі „Функції багатьох змінних ”
- •Поняття функції багатьох змінних.
- •1.3. Послідовності точок в .
- •1.4. Означення функції багатьох змінних.
- •9.2. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області. Іі. Основні теоретичні відомості. Приклади розв’язання задач
- •1. Поняття функції багатьох змінних
- •1.1. Евклідовий простір ( )
- •1.2. Множини точок в ( ).
- •1.3. Послідовності точок в ( )
- •Теорема 1
- •1.4. Означення функції багатьох змінних
- •Приклад 4
- •Розв’язання
- •Приклад 5
- •Розв’язання
- •3. Границя та неперервність функцій багатьох змінних
- •3.1. Границя функцій багатьох змінних
- •2.2. Неперервність функції багатьох змінних
- •Теорема 3
- •Теорема 4
- •3. Частинні похідні функції багатьох змінних
- •Приклади 10-11
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Приклад 12
- •Розв’язання
- •4. Диференціал функції та його використання
- •Теорема 5
- •Приклад 13
- •Розв’язання
- •Приклад 14
- •Розв’язання
- •5. Диференціювання неявних функцій
- •6. Похідна за напрямом. Градієнт
- •Якщо використати теорему Лагранжа, то неважко показати, що (24)
- •Приклад 15
- •Розв’язання
- •7. Частинні похідні вищих порядків
- •Приклад 16
- •Розв’язання
- •8. Застосування частинних похідних в економічних задачах
- •9. Екстремум функції багатьох змінних
- •9.1. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •Теорема 6
- •Приклади 17-18
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •Має максимум, якщо або
- •Має мінімум, якщо або
- •Не має екстремуму, якщо
- •9.2. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області
- •Приклад 21
- •Розв’язання
- •Ііі. Завдання для контрольної роботи. Завдання 1
- •Варіанти завдань:
- •Завдання 2.
- •Варіанти завдань:
- •Іv. Список використаної та рекомендованої літератури
Приклад 4
Знайти лінії рівня функції .
Розв’язання
За означеннями , або , , що є рівнянням кола з радіусом і центром в точці . Якщо тепер надати послідовно різні значення c =1, 4, 9,..., то одержимо сукупність кіл з радіусами 1, , ,..., які прямують до нуля, коли . Таким чином, на площині xOy лінії рівня – це сукупність концентричних кіл, які стягуються до початку координат.
Означення 11. Графіком функції двох змінних називається множина точок тривимірного простору
, (13)
яка являє собою деяку поверхню в декартовій системі координат Oxyz. Для побудови графіка функції корисно розглянути функції та , які є перерізами поверхні площинами ; , паралельними координатним площинам Oxz та Oyz.
Приклад 5
Побудувати графік функції Кобба-Дугласа при
Розв’язання
Для значення функції – . В перерізах площинами, що проходять через вісь Oz та лінії ; n=const в площині xOy одержимо прямі лінії з кутовими коефіцієнтами . Для , , , це прямі (див. Рис. 2).
Проведемо тепер перерізи поверхні площинами паралельними площині , тобто побудуємо лінії рівня .
Переріз у вертикальній площині паралельний осі Oz, що проходить в площині xOy через лінію дає направляючу лінію . Графік функції Кобба-Дугласа є конічна поверхня, зображена на Рис. 2.
3. Границя та неперервність функцій багатьох змінних
3.1. Границя функцій багатьох змінних
Розглянемо функцію , визначену на множині . Нехай точка цього простору, і в будь-якому -околі її є хоча б одна точка , відмінна від .
Означення 12. Число називається границею функції в точці (границею при ), якщо для будь-якої послідовності точок , яка збігається до , відповідна послідовність значень функції збігається до А.
Для запису цього факту використовується символіка:
;
, або .
Нагадаємо, що через M позначаємо точку з координатами (x, y), тобто .
Сформулюємо ще одне означення границі.
Означення 13. Число A називається границею функції при , якщо для будь якого, як завгодно малого числа знайдеться таке число що для всіх точок , відмінних від точки і віддалених від точки на відстань меншу , тобто , виконується нерівність . Границя позначається так:
.
Означення 14. Число А називається границею функції при , якщо для будь-якого числа , можна знайти так число , що для всіх точок , які задовольняють умову , виконується нерівність . Записуємо цей факт так:
.
Для функції багатьох змінних, які мають границю в точці, справедлива теорема про арифметичні операції над ними.
Теорема 2
Нехай функції , мають в точці границі A та B відповідно. Тоді функції , та (при ) мають границі в точці , , – відповідно.
Приклад 7
Знайти границю
Розв’язання
Позначимо Умова рівно-сильна умові Тому
Приклад 8
Знайти границю .
Розв’язання
Зрозуміло, що в точці функція не визначена. Знайдемо тепер границю, коли точка . Нагадаємо, що умова , рівносильна умові . Нехай вздовж прямої , тоді:
,
тобто границя дорівнює нулю.
Нехай тепер вздовж параболи , тоді одержимо:
.
Звідси випливає, що при число відмінне від нуля.
Таким чином, границя буде різним числом, в залежності від способу прямування точок М до 0. Отже, дана границя не існує.