Двійкова система числення

У двійковій системі числення числа виражаються тільки за допо­могою двох цифр 0 і 1.

Запишемо у двійковій системі цифри десяткової системи (табл. 1)

Таблиця 1

Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Код	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001

Будь-яке двійкове число, записавши його у вигляді суми степенів основи, можна перевести в десяткове, наприклад

(101110)₂ = 12⁵ + 02⁴ + 12³ + 12² + 12¹ + 02⁰ = 46.

Тобто десятковому числу 46 з двома розрядами від­повідає двійкове з шістьма розрядами, але не зважаючи на високу розряд­ність двійкових чисел саме двійкова система стала основою побу­дови обчис­лю­вальних ма­шин, тому що електронні елементи, які зас­тосо­ву­ються в комп’ютер­ній тех­ніці, можуть перебувати в двох стійких станах. Сучасні комп’ю­тери мо­жуть за один такт (в паралель) опра­цьовувати до 64 бітів, тому висока розрядність двійкових чисел не є проблемою.

Якщо під запис двійкового числа виділити n бітів, то кількість різних чисел, що можна буде записати за допомогою n бітів, дорів­нюватиме 2ⁿ.

Над двійковими числами теж виконуються арифметичні дії. Для їхнього додавання та множення використовують такі таблиці (табл. 2)

Таблиця 2

+	0	1			0	1
0	0	1		0	0	0
1	1	10		1	0	1

Двійкові числа можна ділити та віднімати. Ці арифметичні операції в сучасних комп’ютерах виконує арифметико-логічний пристрій, що вхо­дить до складу мікропроцесора.

Вісімкова та шістнадцяткова системи числення. Двійкова система чис­лення приводить до довгого запису чисел, який важко сприймається користу­вачем при його зчитуванні. Тому для ком­пактнішого запису чисел викорис­то­вують вісімкову та шістнад­цяткову системи числення. Ці системи чис­лен­ня використовуються користувачами, комп’ютер все рівно працює з двійковими числами.

Вісімкові числа записуються за допомогою цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, а алфавіт шістнадцяткової системи складається з арабських цифр і пер­ших шести літер латинського алфавіту: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Основи цих двох систем є степенями числа 2 (8 = 2³, 16 = 2⁴), тому двійкові числа зручно записувати в цих системах. Наприклад (357)₈ = 11 101 111, (7AB)₁₆= 111 1010 1011. Шістнадцяткові числа ще позначають літерою H в кінці числа, наприклад (7AB)₁₆ = 7ABH.

§ 6. Кодування чисел в еом

Через те що комп’ютер оперує з двійковими числами, будь-яку вве­дену до нього інформацію потрібно подавати у вигляді двійкового коду. Наприклад, коли користувач уводить з клавіатури десяткові числа, вони відразу перетворюються на двійкові числа (це процес кодування). З двій­ковими числами комп’ютер виконує арифметичні та логічні опера­ції. Щоб користувач міг зрозуміти отриманий результат, комп’ютер ви­во­дить його теж у десятковій системі, тобто здійснює процес деко­ду­вання.

Існують різні методи переведення чисел з однієї системи числення до іншої, наприклад діленням на основу. В цьому методі виконують послі­довні ділення на 2 і виписують остачі знизу вверх – в результаті одер­жують двійкове число.

В обчислювальних машинах використовуються дві форми подання двійкових чисел:

• форма з фіксованою крапкою;

• форма з плаваючою крапкою (нормальна форма).

З фіксованою крапкою всі числа зображаються в вигляді послі­дов­ності цифр з постійним розміщенням крапки для всіх чисел, нап­риклад, (1011101.101)₂. Ця форма є звичною, але має невеликий діапазон чисел, тому в су­часних ЕОМ ця форма використовується рідко і тільки для цілих чисел.

З плаваючою крапкою кожне число зображається у вигляді двох груп цифр. Перша група цифр називається мантисою, друга – порядком, при­чому абсолютна величина мантиси менша 1, а порядок є цілим чис­лом, наприклад, 0,1011012⁷. Нормальна форма має великий діапазон відобра­ження чисел і є основою сучасних ЕОМ.