9 Розвязання систем лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами операційним методом

Алгоритм розвязання системи лінійних диференціальних рівнянь операційним методом, власне кажучи, не відрізняється від алгоритму розвязання цим методом одного рівняння.

Приклад 1. Розвязати систему диференціальних рівнянь:

(9.1)

при початкових умовах

(9.2)

Розвязання

Нехай шукані функції і їхні похідні , а також функції, що є правими частинами системи рівнянь (9.1), є оригіналами і нехай . Тоді

(9.3)

Підставляючи в систему (9.1) замість , і правих частин відповідні їм зображення, одержують систему алгебраїчних рівнянь:

чи

(9.4)

Рішення отриманої системи в зображеннях дає:

(9.5)

Переходячи від зображень (9.5) до відповідного їм оригіналам, одержують шукане рішення задачі (9.1), (9.2):

(9.6)

Приклад 2. Вирішити систему диференціальних рівнянь

(9.1)

при початкових умовах:

. (9.2)

Рішення

Нехай , тоді

(9.3)

Підстановкою в систему (9.1) замість , і правих частин відповідних їм зображень за співвідношеннями (9.3), отримують систему алгебраїчних рівнянь у зображеннях:

(9.4)

Розвязання отриманої системи (9.4) дає:

(9.5)

Переходом від зображень (9.5) до відповідних їм оригіналам отримуємо розвязок задачі (9.1), (9.2):

(9.6)

Відповідь:

Перевірка:

Легко бачити, що задачу (9.1), (9.2) розвязано вірно.

Література

1. Диткин в.А., Прудниіков А.П. Операционное исчисление. –М.: Вышая школа, 1975.-406с.

2. Ефимов Е.М. Математический анализ (специальны разделы, Т.1.-М.: Вышая школа, 1980.-279с.

3. Мартыненко В.С. Операционное исчисление.-К.: Высшая школа, 1990.-477с.

4. Шелковников Ф.А., Такайшвили К.Г. Сборник упражнений по операционному исчислению.-Высшая школа, 1968.-249с.

5. Штокало И.З. Операционное исчисление.- К.: Издательство “Наукова думка”, 1972.

6. Штокало И.З. Операционніе методі и их развитие в теории линейніх дифференциальніх уравнений с переменніми коєффициентами.-К.: Издательство Академии наук УССР, 1961.

7. Ангиенко И.М., Козлов Р.В. Задачи по теории комплексной переменнй.-Минск: Вісшая школа, 1970.

Зміст

Вступ 3

1 Деякі питання теорії комплексної змінної 4

1.1 Комплексне число та дії над ним 4

1.2 Геометрична інтерпретація комплексних чисел 5

1.3 Піднесення в ступінь і добування кореня з комплексного числа 8

1.4 Межа послідовності комплексних чисел 8

1.5 Поняття функції комплексної змінної. Безперервність 10

1.6 Диференціювання функції комплексної змінної 12

1.7 Інтеграл по комплексній змінній 14

2Операційне числення 20

3 Перетворення (перетвір) Лапласа. Оригінал і зображення 20

4 Теорема єдності зображення 22

5 Приклади безпосереднього визначення зображень 23

6 Основні теореми операційного числення 25

6.1 Теорема подібності 25

6.2 Властивість лінійності зображення 26

6.3 Теорема загоювання 27

6.4 Теорема зсуву 27

6.5 Диференціювання зображення 29

6.6 Інтегрування зображення 30

6.7 Теорема множення зображень (теорема про згортку) 31

6.8 Диференціювання оригіналів (зображення похідних оригіналів) 33

6.9 Інтегрування оригіналів(зображення інтегралів) 34

6.10 Перша теорема розвинення 35

6.11 Друга теорема розвинення 36

7 Таблиця основних відповідностей 38

8 Розвязання звичайних лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами операційним методом 40

9 Розвязання систем лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами операційним методом 44

Література 47

Зміст 48

48