§6.7 Ставки реинвестирования.
Предположим, что n – положительное целое и что, для t=0,2,...,n-1 возможно в момент t сделать инвестицию любой суммы, так что проинвестированная сумма будет выплачена в момент n и будет генерировать доход it раз проинвестированной суммы, выплачиваемой в моменты t+1,t+2,...,n.
Рассмотрим, например, инвестицию 1 в момент 0. Она будет выплачена (как 1) в момент n и будет генерировать доход i0, выплачиваемый в моменты 1,2,3...,n. В момент 1 мы можем инвестировать полученный доход i0. Эта инвестиция будет выплачена (как i0) в момент n и будет генерировать следующий доход – i1i0, выплачиваемый в моменты 2,3,...,n. И так далее.
Таким образом, для t=1,...,(n-1) доход, полученный в момент t из всех предыдущих инвестиций, будет сам инвестирован для выплаты в момент n и будет генерировать следующий доход it раз проинвестированной суммы.
Как много получит инвестор, если он поступает таким образом? Более обще, мы можем рассматривать ситуацию, в которой инвестор делает ??? платежей различных сумм в моменты 0,1,...,n-1. Если полученный доход реинвестируется как и раньше, как много получит инвестор в момент n?
Для t=0,1,...,n-1 пусть Аt обозначает общий доход который получит инвестор в момент n, если он делает ряд инвестиций, каждая из которых равна 1, в моменты t,t+1,...,n-1 и реинвестирует доход как и раньше. Ясно, что
An-1=1+in-1 (1)
Теорема 6.7.1. Для 0≤t<n-1
At=(1+it)+(1+it)(1+it+1)+...+(1+it)(1+it+1)...(1+in-1) (2)
Доказательство. По таблице
Время инвестиции |
t |
t+1 |
t+2 |
... |
n-1 |
n |
Ежегодный взнос |
1 |
1 |
1 |
... |
1 |
0 |
процент |
|
it |
it |
... |
it |
it |
процент |
|
|
(1+it)it+1 |
... |
(1+it)it+1 |
(1+it)it+1 |
.... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
процент |
|
|
|
... |
(1+it)...(1+in-3)in-2 |
(1+it)...(1+in-3)in-2 |
процент |
|
|
|
... |
|
(1+it)...(1+in-2)in-1 |
сумма |
1 |
1+ it |
(1+it)(1+it+1) |
... |
(1+it)...(1+in-3)(1+in-2) |
(1+it)...(1+in-1)-1 |
Пусть St – общие доходы, которые будут получены в момент n инвестором, который делает единственный платеж равный 1 в момент t и реинвестирует доход, как и ранее. Ясно, что
Sn-1=1+in-1
Теорема 6.7.2. Для 0≤t<n-1
St=1+it[1+(1+it+1)+(1+it+1)(1+it+2)+...+(1+it+1)...(1+in-1)] (5)
Доказательство. Доход на единственную инвестицию равную 1 в момент t равен 1 (т.е. выплата 1 в момент n) + it (доход полученный в момент n из начальной инвестиции в момент t) + доходы, реинвестиции дохода it, полученного в моменты t+1,t+2,...,n-1.
Алгебраически: St=1+it+itAt+1=1+it(1+At+1). Подставляя At+1 из (2) получим выражение (5).
Окончательно, заметим, что если инвестор
делает ряд инвестиций C0,
C1,...,
Cn-1
(Ct
– платеж в момент t), и при
вышеопределенных условиях реинвестирования,
тогда его общий доход в момент n
равен
Пример 6.7.1. Специальный накопительный план проектируется для создания капитальной суммы в момент n. Любая сделанная инвестиция будет выплачиваться в момент n по цене покупки. Инвестиция, сделанная в момент t (t=0,1,2,...,n-1) будет приносить доход, выплачиваемый ежегодно до момента n, размером it умноженным на инвестированную сумму. Каждый год возникающий доход из всех ранних инвестиций автоматически реинвестируется в план.
Инвестор рассматривает подобный план с i0=0.1, i1=0.09 и it=0.08 для t≥2. его альтернативные инвестиции – это депозитный счет, на который ежегодно выплачивается процент по ставке 9% в год.
Он желает инвестировать на срок n лет. Найти такие n, для которых накопительный план будет выгоднее
а) если он делает единственную инвестицию сейчас.
б) если он вносит каждый год равные суммы.
Решение. Для накопительного плана в n лет, пусть MPS(n) – окончательные доходы, при условии единственного платежа равного 1 в момент 0, HPA(n) – тоже при ряде платежей равных 1 в моменты 0,1,2,...,n-1. Ясно,
MPS(n)=A0
HPS(n)=S0
Так как i0=0.1, i1=0.09 и it=0.08 для t≥2, следует, что если n≥3, то
HPA(n)=1.1+1.1*1.09+1.1*1.09*1.08+...1.1*1.09*1.08n-2=
1.1+1.1*1.09[1+0.08+...+1.08n-2]=1.1+1.199
По депозитному счету инвестор получит
.
Следовательно накопительный план выгоднее, если
1.1+1.199 >
Это неравенство выполняется, если n≤4.
Рассмотрим случай единственного платежа:
S0=1+0.1[1+1.09+1.09*1.08+...+1.09*1.08n-2]=1.1+0.109[1+1.08+...+
+1.08n-2]=1.1+0.109
По депозитному счету – 1.09n. Таким образом специальный план выгоднее тогда и только тогда, когда 1.1+0.109 >1.09n. Т.е. при n≤20.