Уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид:

                           (3)

где - функции только переменной ,

- функции только переменной .

Поделив члены уравнения (3)  на произведение  ,

получим                                      (4)

Левая часть уравнения (4) зависит только от , а правая часть - только от , т.е. переменные разделены (поэтому и название уравнения соответствующее). Левую часть можно рассматривать как дифференциал функции  переменной , т.е. - первообразная для .

Следовательно, .

Точно также . Равенство дифференциалов означает, что они отличаются на постоянную величину .

это общий интеграл уравнения (3). Его нахождение свелось к почленному интегрированию уравнения (4) (при решении не обязательно переносить один из членов в правую часть).

 Пример2:

 

 Решение:

Делим уравнение на .

.

Интегрируем:

- общий интеграл.

?   

  

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

 

Предварительно введем следующие понятия. Функция  называется однородной функцией -ой степени, если для любого  выполняется равенство: .

Например

 

-однородное дифференциальное уравнение 3-ей степени.

Отношение двух однородных функций одинаковых степеней также есть однородная функция, но нулевой степени.  

Дифференциальные уравнения первого порядка.

 

                                          (5)

называется однородным, если  и - однородные функции одной и той же степени.

Решение однородного дифференциального уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными. Для этого уравнение (5) преобразуем  к виду

                                                           (6)

или же , где - однородная функция нулевой степени, как  отношение однородных функций одинаковых степеней.

Введем замену  или ,  подставив в уравнение (6), получим уравнение с разделяющимися переменными: .

 Пример 3:

  

Решение:

 

.

Производим замену: .

Тогда

 

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

 

Общий вид такого уравнения:

                                                     (7)

где - непрерывные функции от .

Интегрирование уравнения (7) можно свести к интегрированию двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Представим искомую функцию ,

тогда: . Подставляем в уравнение (7): ,

                                              (8)

Выберем функцию  так, чтобы выражение , т.е. в качестве функции  беспорядочно из частных решений дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Вычислив функцию , подставим ее в (8), получим: .

Для нахождения « » также получили дифференциальное уравнение I порядка с разделяющимися переменными. Решение исходного уравнения равно произведению этих функций .

 Пример 4:

 

 Решение:

 

Уравнение Бернулли.

 

Рассмотрим уравнение вида

                                    (1)

где - непрерывные функции от  (или постоянные), . Это уравнение называется уравнением Бернулли, сводится к линейному следующим преобразованием. Разделим (1) на :

                                       (2)

Сделаем замену

 

 

Вычислив его общий интеграл, и подставив вместо  выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли.

 Пример5:

 

 /:

Обозначим

Интегрируя по частям, получим:

 

- общий интеграл.

  

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Частные случаи линейных дифференциальных  уравнений II порядка,

их решение. Общие свойства решений линейных

дифференциальных уравнений II порядка.

 

Дифференциальное уравнение ІІ порядка называется линейным, если оно первой степени относительно совокупности искомой функции  и ее производных  .

1.  Простейшее дифференциальное уравнение II порядка имеет вид:

                                  (1)

Правая часть уравнения- непрерывная функция одной переменной . Уравнений (1) показывает, что искомая функция продифференцирована два раза. Общее решение уравнения найдем двукратным интегрированием функции .

Обозначим .

.

 Пример 6:

 

Пример 7:

 

 

2. Решение дифференциальных уравнений вида

                         (2)

не содержит в явном виде неизвестной функции . Понизим порядок уравнения, введя замену . Выполним замену в уравнении (2), в результате получим дифференциальное уравнение I порядка .

 Пример8:

 

- линейное уравнение.

 

 

Линейное дифференциальное уравнение называется однородным (или без правой части), если его свободный член тождественно равен нулю, в противном случае - неоднородным (или с правой частью).

Линейное однородное дифференциальное уравнение с теми же коэффициентами, что и линейное неоднородное того же порядка, называется однородным уравнением, соответствующим данному неоднородному.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение II порядка в общем виде записывается так:

                             (3)

 

где коэффициенты  и правая часть  - непрерывные функции, а соответствующее ему однородное уравнение:

                                            (4)

 

Теорема 1: Если  есть решение дифференциального однородного уравнения II порядка (4) и - постоянная, то  также есть решение уравнения (4).

Теорема 2: Если  и - какие-нибудь два линейно независимых частных решения линейного однородного дифференциального уравнения II порядка, то его общим решением служит функция

                                                           (5)

где - произвольные постоянные.

Можно доказать, что если  и - линейно независимые частные решения уравнения (4), то все его решения исчерпываются формулой (5).

Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения тесно связано с интегрированием соответствующего ему однородного уравнения.

 

Теорема 3: Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего ему линейного однородного дифференциального уравнения: .

В дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь линейных дифференциальных уравнений II порядка с постоянными коэффициентами, т.е. коэффициенты - постоянные величины.