1 Случай.

Корни знаменателя действительны и различны, т.е.

f(x) = (x-a)(x-b)....(x-d)

 

В этом случае дробь    разлагается на простейшие дроби I типа

 

 

2 Случай.

Корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные:

f(x) = (x-a)^α(x-b)^β....(x-d)^δ

 

В этом случае дробь  разлагается на простейшие дроби I и II типов из (5).

 

Пример:

 

Приведем к общему знаменателю дроби в правой части и приравняем:

 

 

Методом неопределенных коэффициентов найдем:

 

1=A(x-1)(x+2)+B(x+2)+C(x-1)²

1=Ax²+2Ax-Ax-2A+Bx+2B+Cx²-2Cx+C

1=(A+C)x²+(A+B-2C)x+(-2A+2B+C);

 

x²                0=A+C                      (приравняли коэффициенты)

x¹                0=A+B-2C                 (при одинаковых степенях х).

x⁰                1=-2A+2B+C

 

 

                                                   3B=1;

                                                    B=1/3;

;

;

 

 

3 случай. Среди корней знаменателя есть комплексные неповторяющиеся т.е. различные:

 

f(x)=(x²+px+q)....(x²+ls+s)(x-a)^α....(x-b)^β

 

В этом случае дробь     разлагается на простейшие дроби I,II,III типов.

Пример:

 

не имеет действительных корней, так как Д<0.

Подинтегральную функцию разложим на простейшие дроби вида I,III из (5).

 

 

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:

 

 

Таким образом,

 

 

Второй интеграл преобразуем, выделив полный квадрат из знаменателя:

 

 Тогда:

 

4 случай. Среди корней знаменателя есть комплексные кратные

В этом случае дроби  будут содержать и простейшие дроби IV типа.

Пример

 

Пусть х=0, тогда 1= - А;

х=1, тогда 1=В;

х=2, тогда 1=9А+18В+6(2С+D)+(2M+N)2

  

7.6. Интегрирование некоторых тригонометрических выражении.

 

Интегралы вида

 вычисляются с применением формул

 

 

Пример

2. Интегралы вида , где n и m – целые числа, интегрируются с помощью замен:

№	условия на m, n	подстановка
1	m, n – четные положительные числа
2	одно из чисел m, n – нечетное и положительное,	от нечетной степени отделяем множитель sinx (или cosx) , вносим его под дифференциал, и далее подстановка t = sinx  (или  t = cos x)
3	m, n – четные числа, и одно из них отрицательное
4	m, n – четные числа, и оба отрицательные	в числителе положить , где k=1,2,3…

 

Пример 1.

   = [тип 1] =

 Пример 2.

 

 

Пример 3.

 

Интеграл типа (2):

 

 

Пример 4. Интеграл типа (3):

 

 

Пример 5. Интеграл типа (4):

 

 

Интегралы вида  где R – рациональная функция.

 

№	дополнительные условия	подстановка
1	функция нечетна относительно sinx
2	функция нечетна относительно сosx
3	функция четна относительно sinx и cosx
4	функцию можно привести к виду, зависящему только от
5	функция общего вида	универсальная тригонометрическая подстановка

 

Если есть возможность, то рекомендуется использовать подстановки (1-3), так как универсальная тригонометрическая подстановка приводит к громоздким вычислениям.

 

Пример 6.

Вычислить интеграл .

 

Решение:

Это интеграл типа (1):  и имеем:

 

=

=

=

=

 

Пример 7.

Вычислить интеграл .

 

Решение:

Это интеграл типа (3):

 

 и имеем:

  

Пример 8 (на тип (3)):

 

Пример 9.

Вычислить интеграл   .

Решение:

Это интеграл типа (4):

 

 

Пример 10.

 (универсальная тригонометрическая подстановка):

 Пример 11. Интеграл типа (5):

   

 

 Пример12:

Еще один пример на универсальную тригонометрическую подстановку:

=