Контрольные вопросы и задания к теме 11.

1. Определение числового ряда.

2. Сходящийся ряд

3. Расходящийся ряд.

4. Необходимое и достаточное условия сходимости ряда.

5. Теоремы сравнения.

6. Признак Даламбера.

7. Интегральный признак Коши.

8. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды.

9. Знакочередующие ряды.

10. Теорема Лейбница.

11. Функциональные ряды.

12. Область сходимости ряда.

13. Ряд Тейлора.

14. Необходимое условие разложения функции в ряд Тейлора.

15. Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора.

16. Степенной ряд.

17. Теорема Абеля.

  

Задания к теме 11.

1. Исследовать на сходимость по признакам Даламбера, Коши.

1.     

2.     

3.     

4.     

5.     

6.     

7.     

8.     

9.     

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

  

2. Исследовать на сходимость по признаку Лейбница.

1.   

2.   

3.   

4.   

5.   

6.   

7.   

8.   

9.   

10.

  

3. Найти интервалы сходимости и определить тип сходимости на концах интервала.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

Лекция №№ 21-24 Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения. Основные понятий, определения и уравнения с разделяющими переменными.

 

Рассмотрим задачу, приводящую к нахождению функции, являющейся решением дифференциального уравнения.

Задача. Найти кривую, проходящую через точку  и обладающую тем свойством, что в каждой ее точке угловой коэффициент касательной равен удвоенной абсциссе точки касания.

 

Решение.

Пусть  есть уравнение кривой, обладающей в каждой своей точке  указанным в задаче свойством. Обозначим через  угол, образованный касательной  с положительным направлением оси . Как известно, угловой коэффициент касательной  есть , и он равен производной от по , так что

                                     (1).

С другой стороны, по условию задачи имеем

В уравнении (3) неизвестная функция стоит под знаком производной или, что одно и то же, уравнение (3) содержит производную от неизвестной функции. Уравнение такого типа, которые содержат производные искомой функции, называются дифференциальными уравнениями.

Решением дифференциального уравнения (3) является первообразная для функции . Например, решением будет  (4).

Как известно из интегрального исчисления, все первообразные для функции  и, следующие все решения дифференциального уравнения (3) даются формулой , где - произвольная постоянная.

Получим бесконечное множество решений дифференциального уравнения (3), т.к. каждому конкретному значению соответствует свое решение. В частности, при  получаем решение .

 

Определение: Уравнение содержащее независимую переменную Х, искомую функцию У (Х) и её производную У’, У’’, У”’- называется дифференциальным уравнением.

 

 Искомая кривая является графиком решения дифференциального уравнения, она называется интегральной кривой.

Таким образом, интегральными кривыми уравнения (3) будут парабола и вне параболы, получающиеся из нее сдвигом по оси на единиц.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , неизвестную функцию этой переменной и ее производные различных порядков.

 

                     (1)

 

Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нем.

 

Приведем примеры:

 

1)	Уравнение 4-го порядка
2)	3-го порядка
3)	2-го порядка
4)	2-го порядка
5)	1-го порядка

 

В дифференциальных уравнениях не обязательно должны явно содержаться переменные, функция и производные всех порядков. Примеры это иллюстрируют.

Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая функция , при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием, а график решения дифференциального уравнения - интегральной кривой.

 

Пример1:

Найти решение уравнения

 

Решение:

- это и есть решение дифференциального уравнения. Меняя , будем получать различные значения.

Общим решением дифференциального уравнения -го порядка называется его общее решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее   независимых произвольных постоянных, т.е.

                            (2)

Общим интегралом дифференциального уравнения - го порядка называется его общее решение, выраженное в виде неявной функции.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое решение, в котором произвольным постоянным приданы конкретные числовые значения.

В примере 1, пусть - частное решение.