Лекция №№ 19-20 Ряды. Числовой ряд. Сходимость и сумма числового ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда.

Рассмотрим произвольную последовательность  и формально образуем из ее элементов бесконечную сумму вида

                                             (1)

Формально составленную сумму (1) принято называть числовым рядом.

 

Определение: Числовой ряд (1) называется сходящимся, если сходится последовательность  частичных сумм  этого ряда. При этом предел  последовательности частичных сумм  называется суммой ряда (1).

Если  не существует, этот ряд называется расходящимся.

Критерий Коши. Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для любого  существовало число  такое, что при  и p>0 было выполнено неравенство:

В частности, если ряд сходится, то  (необходимый признак сходимости).

  

Достаточные признаки сходимости: признаки Даламбера, Коши и другие.

 

Признаки сходимости знакоположительных рядов.

 

10 Признак Даламбера.

Если

то а) при q<1 ряд (1) сходится

б) при q>1 ряд (1) расходится.

 

20 Интегральный признак Коши.

Если -неотрицательная, не возрастающая функция,

то ряд  сходится или расходится одновременно с интегралом

3^о. Признак Коши.

Если  и

то: а) при q<1 ряд (1) сходится

      б) иди q>1 ряд (1) расходится.

 

4О. Признак сравнения.

 

Пусть кроме ряда                                    (1)

Имеем ряд (2)

Если при n>n_o выполнено равенство ,то:

1) из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1);

2) из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

 

Пример 1.

 

Исследовать на сходимость ряд

 (1)

 

Решение:

 

;

   ряд (1) сходится.

 

Признак сходимости знакопеременных рядов. Теорема Лейбница:

 

Если для знакочередующегося ряда

                                          (2)

 

выполнены условия:

               1)

2) ,  то ряд (2) сходится

 

Пример:

- сходится, так как выполнены условия Лейбница. Этот ряд сходится условно (неабсолютно), так как ряд

(гармонический ряд) – расходится.

  

Функциональные ряды.

 

Формально сумму

                   (2)

бесконечного числа слагаемых будем называть функциональным рядом.

Множество , на котором определены эти функции  будем называть областью определения  этого ряда.

Совокупность   тех значений , для которых сходится ряд (2)-называется областью сходимости этого ряда, а функция

      -его  суммой.

В конкретных случаях область сходимости может совпадать с областью определения, являться подмножеством области определения или вообще быть пустым множеством.

 

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

            (3)

где постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами ряда (3).

В общем случае

(4)

Для каждого степенного ряда (3), (4) существует интервал сходимости: _, внутри которого данный ряд сходится, а вне расходится.

R-радиус сходимости может быть вычислен по формуле:

, если этой предел существует или по формуле Коши.

;

 

Пример:

 

 

Найти область сходимости ряда:

;