Практические занятия к теме 2.

 

Задача 1.

 

Даны координаты точек А(1;2;3), В(2;-1;2). Найти вектор АВ и его длину.

 

Решение:

Подставим координаты точек А и В в формулу  

 

 

Задача 2.

 

В треугольнике с вершинами А(5;4),В(-1;2), С(5;1)

Проведена медиана АД. Найти ее длину.

 

Решение:

Точка Д делит отрезок ВС пополам, поэтому ее координаты находятся по следующим

формулам:

;

Д(2; ).

Тогда длина медианы АД равна:

 

Задача 3.

Векторы а и в образуют угол   зная, что |а|=3; в|=4, вычислить:

а) а. в,

б) а²

в) (а+в)²

 

Решение:

А) По определению

Б) По свойству 4 получим, что а²=|а|²=3²=9

В) Применяя последовательно свойства 3,1,4, получим:

(а+в)²=(а+в)(а+в)=а²+ва+ав+в²= а²+2ав+ в²=9-12+16=13

 

Задача 4

 

Даны векторы а={4;-2;-4}и в={6;-3;2}. Вычислить  а в

 

Решение:

 

Задача 5.

В пространстве даны векторы а={1;5;1}и в={1;-5;2}, с=={2;1; }. Вычислить их попарные скалярные произведения и по этим произведениям указать, образуют ли они острый, прямой или другой угол.

 

Решение:

Вычислим скалярное произведение векторов через их координаты:

в с=2-5+3=0

Это означает, что векторы а и в образуют тупой угол, а и с – острый угол, а в и с образуют прямой угол

 

Задача 6

 

Определить координаты и длину вектора а в, если а=j; в=2 i-j+ 3k

 

Решение:

Координаты векторов а и в можно записать в следующем виде:

а={0;1;0} и в={2;-1;3}. По формуле векторного произведения в прямоугольных координатах запишем:

 

 

 

Задача 7

 

Пользуясь векторным произведением, вычислить площадь треугольника АВС с вершинами в точках А (2;1;0), В(-3;-6;4),С(-2;4;1).

 

Решение:

Рассмотрим  векторы АВ={-5;7;4} и АС=={-4;3;1} (необходимо, чтобы они исходили из одной точки).

 

 

АВ×АС=={-19;-11;-43}.

 

Площадь треугольника АВС равна по величине половине площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС.  Согласно геометрическому смыслу векторного произведения

 

 

 

Задача 8

 

Найти смешанное произведение векторов и определить ориентацию тройки векторов

 

а={-2;-3;1}, в={1;1;2}, с={3;1;-1}.

 

Решение:

По формуле

 

Имеем 

Векторы а,в,с образуют левую тройку

 

Задача 9

 

Даны две точки А(-2;3) и В(4;6). Требуется составить уравнение прямой, проходящие через две данные точки.

 

Решение:

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки  .

 

Подставим координаты точек А и В:   

3(х+2)=6(у-3)

 

х+2=2(у-3)     х-2у+8=0.

 

Полученное уравнение запишем в общем виде Ах+Ву+С=0, где А=1, В=-2-координаты нормального вектора n={А;В}.

 

Задача 10.

 

Найти угол, образованный прямыми 3х+у-6=0, 2х-у+5=0.

 

Выпишем , это нормальные вектора прямых. Тогда, чтобы найти угол между прямыми, достаточно найти угол между их параллельными векторами

 

 

 

Задача 11

 

Заданы прямая 2х-у+1=0 и точка М(-1;2). Требуется написать уравнение прямой, проходящей через точку М:

 

А) параллельно данной прямой;

Б) перпендикулярно данной прямой.

 

Решение:

Выпишем угловой коэффициент данной прямой, он равен

Используем уравнение прямой с угловым коэффициентом к и точкой, через которую проходит искомая прямая: у-у = .

А) В случае параллельности двух прямых   и уравнение искомой прямой

Следующее:

Б) В случае перпендикулярности двух прямых = =- .

И уравнение искомой прямой:

 

Задача 12.

 

Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на их абсциссе, симметрично относительно начала координат, зная, что его полуоси равны 5 и 2, построить эллипс.

 

Решение:

По условию а=5,в=2. Каноническое уравнение эллипса

Подставим данные 5 и 2 в уравнение:  

Для построения сначала строим вспомогательный прямоугольник со сторонами 2а и 2в. Затем вписываем туда эллипс.