Кинематические характеристики звена и точки

Точке свойственны линейные кинематические характеристики. Траектория точки - линия - след точки. Кинематическими характеристиками точки являются:

перемещение S[м], S = f(t) ;

dS

dt

линейная скорость V[м/с], V = ;

dV d²S

dt dt²

линейное ускорение a [м/с²], a = = .

Иногда можно встретить выражение «точка вращается». Для того, чтобы выяснить, объект враща-

ется или нет, нужно в нем зафиксировать линию и проследить, есть ли вращение объекта вокруг оси, перпендикулярной плоскости или нет. Точка – бесконечно малый объект по размерам стремящийся к нулю. В точке линию провести нельзя. Поэтому при исследовании кинематических характеристик точек механизма говорить о угловых кинематических характеристиках точки не приходится.

Звену свойственны угловые кинематические характеристики. В общем случае звено обладает только угловыми кинематическими характеристиками, исключая поступательное движение:

угол поворота или угловое перемещение  [рад],  = f(t);

dφ

dt

угловая скорость  [рад/с],  = ;

dω

dt

d²φ

dt²

угловое ускорение  [рад/с²],  = = .

В общем случае движения звена понятие линейной скорости звена лишено смысла, т.к. скорости различных точек звена различны. Можно говорить о средней линейной скорости звена, если имеем в виду некоторую среднюю скоростей всех точек звена. Однако к этому термину нужно относиться осторожно, применять его только там, где в этом есть необходимость.

Исключение составляет поступательно движущееся звено, у которого скорости всех точек одинаковы. Только в этом случае звено имеет линейные кинематические характеристики.

Передаточные функции и понятие аналогов

При исследовании механизмов часто пользуются безразмерными параметрами или величинами, называемыми передаточными функциями (или параметрами в относительных единицах).

Передаточной функцией называется производная от перемещения ведомого звена по перемещению ведущего звена ( или обобщенной координате) или точки механизма.

Передаточная функция обозначается буквой i с цифровыми индексами от какого звена к какому. Например i2-1 обозначает передаточную функцию от звена 2 к звену 1.

Рассмотрим следующие примеры.

І. Ведомое звено совершает поступательное движение, ведущее - вращательное. В качестве примера рассмотрим кривошипно-ползунный механизм (рис. 1). Определим передаточную функцию от звена 3 (ползуна) к звену 1 (кривошипу)

ds3

dsA

i3-1 = .

Умножим и разделим правую часть уравнения на бесконечно малую величину dt:

dS3 dt V3 V3 _

dSA dt VA ω1lOA

dS3 dt dV3 d²S3 dt dt² dS3 dt . i3-1 = · = A 1 2 ω1 3 . O φ1 B S3 Рисунок 1 – Кривошипно-ползунный механизм

. Таким образом получаем, что передаточная функция от звена 3 к звену 1 равна отношению ли­нейных скоростей точек соответствующих звеньев механизма. При поступательном движении ведомого звена и заданном вращательном движении веду­щего при кинематическом исследовании механизма необходимо определить: перемещение ведомого звена S3 = f1(t), скорость ведомого звена V3 = f2(t) = и ускорение звена a = f3(t) = = S- перемещение, координата, отсчитываемая от ка­кого-то положения звена, t - время. Значение скорости ведомого звена легко определить, выполнив следующую операцию. Разде- лим и умножим на бесконечно малую величи-

ну dφ1 - угловое перемещение ведущего звена.

dS3 dφ1 dφ1

dt dφ1 dt

V3 = · ; = ω1 - угловая скорость ведущего звена.

dS3

dφ1

dS3

dφ1

V3 = ·ω1 ; - передаточная функция перемещения ползуна по перемеще-

нию начального звена.

Эта функция получила название аналога линейной скорости, т.к. при ω1 = const

V3 = f2(t) две функции, изменяющиеся по аналогичным законам. Если изобразить

dS3

dφ1

графики этих функций, то они будут подобны (аналогичны), только масш-

= f4(t) табы у них будут разные.

Определим линейное ускорение:

dV3

dt

dS3

dt

dS3

dφ1

a3 = ; V3 = = ·ω1 ; S3 = f [φ1(t)] - сложная функция.

Берем производную от сложной функции:

dS3 dω1 d²S3

dφ1 dt dφ1

d

dt

dS3

dφ1

d²S3 dφ1

dφ1 dt

dS3

dφ1

²

²

²

a3 = [ ·ω1] = · ·ω1 + · = ·ω1 + ·ε1 .

dω1

dt

При ω1 = const, угловое ускорение звена ε1 = = 0, тогда:

d²S3

dφ1

d²S3

dφ1

²

²

²

a3 = · ω1 , где – аналог линейного ускорения, функция, изменяющаяся

d²S3

dt²

аналогично .

ІІ. Ведущее звено и ведомое совершают вращательное движение. В качестве примера рассмотрим шарнирный четырехзвенник ( рис. 2). Определим передаточную функцию от звена 3 (коромысла) к звену 1 (кривошипу):

dβ3 dφ1 dβ3 dt dφ1 dt ω3 ω1 dβ3 dt dω3 d²β3 dt dt² B A 2 1 3 ω1 φ1 β3 O1 O2 Рисунок 2–Шарнирный четырехзвенник

i3-1 = = · = . Передаточная функция в этом случае равна отношению угловых скоростей ведомого и ведущего звеньев. При вращательном движении ведомого звена и заданном вращательном движении ведущего при кинематическом исследовании необходимо определить: угловое перемещение ведомого звена β3 = f1(t), угловую скорость ведомого звена ω3 = = f2(t) и угловое ускорение ведомого звена ε3 = f3(t) = = .

β3 - угловое перемещение ведомого (выходного) звена, отсчитываемое от некоторого начального положения.

Определим угловую скорость ведомого звена:

dβ3

dt

dβ3 dφ1 dβ3

dt dφ1 dφ1

dφ1

dt

ω3 = = · = ·ω1 ; = ω1 - угловая скорость ведущего звена.

dβ3 dφ1

- передаточная функция или аналог угловой скорости ведомого звена.

Определим угловое ускорение:

dω3 d²β3 dβ3

dt dt² dφ1

t

ε3 = = = ·ω1 ; β3 = f[φ1(t)] – сложная функция.

d dβ3

dt dφ1

d²β3 dφ1 dβ3 dω1 d²β3 dβ3

dφ1² dt dφ1 dt dφ1² dφ1

ε3 = ( ·ω1) = · ·ω1 + · = ·ω1² + ε1· .

dω1

dt

П

d²β3

dφ²

d²β3

dφ²

ри ω1 = const; ε1 = = 0, тогда:

1

1

ε3 = ·ω1², где - аналог углового ускорения.