11.4.2. Криволинейный интеграл по координатам (II рода)

Рассмотрим этот вопрос в общем виде. Пусть и - функции двух переменных, непрерывные в некоторой области D, и L – гладкая линия, целиком расположенная в этой области.

Разобьем линию L на п участков и в каждом таком участке выберем по произвольной точке . Обозначим проекции к-го участка на оси координат через и и составим сумму

. (11.4.8)

Сумма (11.4.8) называется п-ой интегральной суммой по линии L, а ее предел при стремлении длины наибольшего частичного участка к 0.

-

криволинейным интегралом 2-го рода по линии L.

О п р е д е л е н и е. Криволинейным интегралом по линии L называется предел п-й интегральной суммы (11.4.8) при стремлении к нулю длины наибольшего частичного участка разбиения кривой L.

Линия L называется линией или контуром интегрирования. Точка В называется начальной, а точка С – конечной точками интегрирования.

В частности, если , то интеграл имеет вид и называется криволинейным интегралом по координате х.

Аналогично, если , то называется криволинейным интегралом по координате у.

З а м е ч а н и е. Работа силового поля при перемещении материальной точки по кривой L под действием силы выражается криволинейным интегралом:

. (11.4.9)

Вычисление криволинейных интегралов приводится к вычислению обыкновенных определенных интегралов. Рассмотрим интеграл и предположим, что уравнение линии интегрирования L дано в параметрическом виде:

, .

Начальной точке линии (В) соответствует значение параметра , а конечной (С) - . Возьмем интегральную сумму , пределом которой является данный интеграл, и преобразуем ее к переменной t. Так как , то, применяя формулу Лагранжа, получим , где лежит в интервале , а . В качестве промежуточной точки выберем как раз ту, которая соответствует значению параметра . Тогда

, .

Преобразованная сумма

будет обыкновенной интегральной суммой для функции одной переменной , а ее предел – определенным интегралом

.

Точно также

.

Отсюда и вытекает правило вычисления криволинейного интеграла II рода.

Для того чтобы криволинейный интеграл , взятый по линии , , преобразовать в обыкновенный, нужно в подынтегральном выражении заменить х, у, и их выражениями через t и и вычислить получившийся интеграл по интервалу изменения параметра t:

,

(11.4.10)

где и - значения параметра t, соответствующие точкам В и С линии L.

Если уравнение линии L задано в виде , то, полагая в общей формуле преобразования , получим:

, (11.4.11)

где и - абсциссы точек В и С.

Если уравнение линии L задано в виде , то полагая , то получим:

, (11.4.12)

где и - ординаты точек В и С.

Пример 1. Вычислить интеграл , где L – дуга параболы от ее точки до точки .

Решение.

, , .

Тогда

.

Пример 2. Вычислить интеграл , где L – дуга циклоиды от точки до точки .

Решение.

, , .

.

Аналогичным образом вычисляется криволинейный интеграл

по пространственной линии L, заданной параметрически уравнениями , , , :

. (11.4.13)