3.3.2 Метод Карно-Вейча

Метод диаграмм Вейча (карт Карно) удобен для минимизации ЛФ, содержащих обычно не более пяти переменных.

Метод диаграмм Вейча, усовершенствованный Карно, применяется в том слу­чае, если число аргументов не более 5. Представляют собой определенную таблицу истинности и отличаются друг от друга способом обозначения строк и столбцов таблицы истинности.

Число клеток карты Карно определяет­ся величиной 2ⁿ, где п равняется числу входных переменных, с разметкой строк и столбцов переменными.

Например, если переменных 3 (n = 3), то (2³ = 8) клеток -8.

Каждой комбинации переменных можно поставить в соответствие клетку карты Карно.

В клетку записывается значение функции (0 или 1) для данной комбинации входных переменных.

Входные переменные располагаются по внешним сторонам карты напротив ее строк и столбцов. При этом значение каждой из входных переменных относит­ся ко всей строке или столбцу и равняется 1, если напротив строки (столбца) стоит под скобкой обозначение этой переменной; для других строк (столбцов) значение этой переменной равняется 0.

	х2	2
х1
1

Диаграмма Вейча для двух переменных х₁ и х_2.

Переменных -2. Число клеток: 2² = 4

	х2х3	х2 3	2 3	2х3
х1
1

Диаграмма Вейча для трех переменных х₁, х₂ и х₃

Переменных -3. Число клеток: 2³ = 8

	х3х4	х3 4	3 4	3х4
х1х2
х1 2
1 2
1х2

Диаграмма Вейча для четырех переменных х₁, х₂ , х₃ и х₄

Переменных -4. Число клеток: 2⁴ = 16

Каждая из входных переменных делит по-своему любую карту Карно на две равных части, в одной из которых значение этой переменной равняется 1, а в другой 0.

Для минимизации логическая функция (ЛФ) приводится к совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ), после чего заполняется диаграмма для п переменных. При этом в соответствующую клетку диаграммы вписывается 1, если ЛФ = 1 в данном наборе. В остальные клетки вписываются 0 либо эти клетки вообще не заполняются.

В заполненной диаграмме обводят прямоугольными контурами клетки с 1, после чего записывают минимизированную дизъюнктивную нормальную форму (МДНФ) логической функции в виде дизъюнкции простых импликант, описывающих эти контуры.

При проведении контуров придерживаются следующих правил:

-количество клеток с 1 должно выражаться величиной 2ⁱ, где i = 0, 1, 2, … (т.е. 1, 2, 4, 8 и т.д.);

-1 в крайних клетках одного столбца или одной строки могут включаться в один контур;

-каждый контур должен включать как можно большее число клеток с 1, а общее число контуров должно быть как можно меньшим.

В простую импликанту, описывающую контур, включаются те переменные, которые во всех клетках контура имеют либо только прямое, либо только инверсное значение.

Пример 1. Минимизировать ЛФ F = х₂ + х₁ + ₁ с помощью диаграмм Вейча.

1. 	х2	2
   х1	0	1
   1	1	1

   Заполняем диаграмму Вейча для двух переменных.

1. 	х2	2
   х1	0	1
   1	1	1

   Проводим два контура, охватывающие клетки с единицами.

2. Находим простые импликанты описывающие контур, для чего выясняем от каких переменных не зависит данный контур.

а) вертикальный контур охватывает строки с х₁ и ₁, следовательно в простую импликанту, описывающую горизонтальный контур х₁ входить не будет.

б) горизонтальный контур охватывает строки с х₂ и ₂, следовательно в простую импликанту, описывающую вертикальный контур х₂ входить не будет.

4. Следовательно, ЛФ будет иметь МДНФ: F = ₁ + ₂.

Пример 2. Минимизировать ЛФ F=х₁х₂+х₁ х₃+ ₁ х₃+ ₁х₂ с помощью диаграмм Вейча.

1. Приводим логическую функцию к СДНФ:

F = х₁х₂ (х₃+ ) + х₁ х₃+ ₁ х₃ + ₁х₂ = х₁х₂х₃ + х₁х₂ + х₁ х₃+ ₁ х₃ + ₁х₂

2. 	х2х3	х2 3	2 3	2х3
   х1	1	1	0	1
   1	0	1	0	1

   Заполняем диаграмму Вейча для трех переменных.

3. 	х2х3	х2 3	2 3	2х3
   х1	1	1	0	1
   1	0	1	0	1

   Проводим три контура, охватывающие клетки с 1.

1 контур (зеленый) –охватывает клетки х₁х₂х₃ и х₁ х₃

2 контур (красный) –охватывает клетки х₁х_{2 1} х₃

3 контур (красный) –охватывает клетки х₁ х_{3 1} х₃

4. Находим простые импликанты описывающие контур, для чего выясняем от каких переменных не зависит данный контур.

   Для 1 контура это -	х1х
   Для 2 контура это -	х2
   Для 3 контура это -	х3

5. Следовательно, ЛФ будет иметь МДНФ: F = х₁х₃ + х₂ + х₃

В этом примере вместо 1 контура можно было провести контур охватывающий конъюнкции х₁х₂х₃ и х₁х₂ , тогда МДНФ имела бы вид: F = х₁х₂ + х₂ + х₃ . Таким образом, для этой функции возможны две тупиковые формы, равноценные по числу букв и слагаемых, и каждую из них можно выбрать для построения комбинационной схемы.

Карты Карно

Для минимизации функции с числом переменных n ≤ 6 используют карты Карно.

Число клеток карты Карно определяет­ся величиной 2ⁿ, где п равняется числу входных переменных, с разметкой строк и столбцов переменными.

Например, если переменных 3 (n = 3), то (2³ = 8) значит клеток -8.

Карты Карно для функции трех переменных F(х₁ х₂, х₃) показаны на рис. 3.10.

• Строки карты отмече­ны значениями переменной х_1, а столбцы -значениями переменных х₂, х₃.

• Каждая клетка карты Карно однозначно соответствует одному набору таблицы истинности для функции трех переменных (рис. 3.10, а) или минтермам этой функции (рис. 3.10, б).

• Клетки карты Карно часто нумеруют десятичными цифрами - номе­рами наборов (рис. 3.10, в).

• П ри минимизации для каждого минтерма, входящего в СДНФ функции, ставит­ся единица, а другие клетки не заполняются.

Рисунок 3.10 – Карты Карно для функций трех переменных

Например, заполнение карты Карно для функции, заданной табл. 3.12, показано на рис. 3.6, г.

Таблица 3.12 - Функции трех перемен­ных Р(X1 X2 X3)
№ строки	X1	Х2	X3	P
1	0	0	0	0
2	0	0	1	1
3	0	1	0	0
4	0	1	1	1
5	1	0	0	1
6	1	0	1	0
7	1	1	0	1
8	1	1	1	1

Минтермы в соседних клетках карты Карно в строке (включая верхние и ниж­ние) или в столбце (включая крайние) отличаются значением одной переменной, что позволяет выполнить операцию склеивания по этой переменной.

Например, на рис. 3.6, г минтермы X₃ и Х₂ Х₃ (клетки с номерами 1 и 3) отличаются значением переменной Х₂, поэтому они склеиваются по ней и представляются конъюнкцией двух переменных Х₃.

Аналогично для минтермов Х₁ и Х₁ Х₂ (номера клеток 4 и 6) склеивание происходит по переменной Х₂ и получают конъюнкцию Х₁ .

В результате минимизации функции Р(Х₁ Х₂, Х₃) получают ее минимальное выражение

Р = Х₃ v Х₂ Х₃ v Х₁ .

Перечислим общие правила минимизации.

1. Изображают карту Карно для n переменных и производят разметку ее строк и столбцов. В клетки таблицы, соответствующие минтермам (единичным наборам) минимизируемой функции, записывают единицу.

2. Склеиванию подлежат прямоугольные конфигурации, заполненные едини­цами и содержащие 2, 4 или 8 клеток. Верхние и нижние строки, крайние левые и правые столбцы карты как бы склеиваются, образуя поверхность цилиндра.

3. Множество прямоугольников, покрывающих все единицы, называется по­крытием. Чем меньше прямоугольников и чем больше клеток в прямоуголь­никах, тем лучше покрытие.

Из нескольких вариантов выбирают тот, у которо­го меньше коэффициент покрытия z =

где r — общее число прямоуголь­ников,

s — их суммарная площадь в клетках.

Например, для изображенного покрытия (рис. 3.6,г) имеем z = 3/5.

4. Формулы, полученные в результате минимизации, содержат r элементар­ных конъюнкций (по числу прямоугольников в покрытии). Каждая конъюнк­ция содержит только те переменные, которые не меняют своего значения в склеиваемых наборах в соответствующем прямоугольнике.

Число перемен­ных в конъюнкции называется ее рангом.

При склеивании двух соседних клеток получают ранг конъюнкции n-1, четырех клеток — n-2 , восьми кле­ток — n-3 и т.д.

Разметка карт Карно для функций четырех переменных показана на рис. 3.11.

Рисунок 3.11 – Карты Карно для функции 4 переменных:

а) двоичное значение минтермов; б) десятичное значение минтермов

В клетки карт записаны значения минтермов в двоичных и десятичных эквивалентах.

Пример. Минимизировать булевы функции L₁ , L₂ и L₃ четырёх переменных.

Функция L₁ задана двумя способами – в СДНФ и с десятичными эквивалентами минтермов: L₁ = v Х₄ v Х₃ v Х₄ v

v v Х₁ Х₂ v X₁ X₂ X₃ Х₄ = 0 1 2 3 4 8 12 15

Функции L₂ и L₃ для упрощения заданы десятичными эквивалентами минтермов:

L₂ = 2 3 6 7 8 9 12 13; L₃ = 1 3 5 7 9 11 13 15.

Минимизация функций производится на основе карт Карно (рис. 3.12).

Результаты минимизации:

L₁ L₂ L₃

Рисунок 3.12-Карты Карно для минимизации функций четырёх переменных: L₁ , L₂ и L₃

Результат минимизации: L₁ = v v X₁ X₂ X₃ Х₄; z = ;

L₂ = Х₃ v ; z = ;

L₃ = Х₄ ; z = .

Контрольные вопросы и задания

1. В чем заключаются цель и принципы минимизации логических устройств?

2. В чем заключается минимизация функции алгебры логики (ФАЛ) методом непосредствен-ных преобразований?

3. В чем заключается минимизация ФАЛ с помощью карт Карно—Вейча?

4. Приведите свойства карт Карно—Вейча.

5. Представьте карты Карно—Вейча функции трех, четырех и пяти переменных.

6. В чем заключается минимизация не полностью определенной ФАЛ?

7. К чему сводится алгоритм минимизации ФАЛ методом Квайна и Мак-Класки?

8. Что такое импликанта и покрытие Квайна?

9. Минимизируйте функции, заданные в табличной форме, по единичному значению функции.

10. Образуйте СДНФ и СКНФ функции, заданной таблицей

Х3	Х2	Х1	F(x)
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1