3.2.3 Понятие суперпозиции

Суперпозиция - есть подстановка в логическую формулу вместо переменных, других булевых выражений.

С помощью суперпозиции можно получить более сложные функции любого числа переменных.

Пример:

Если F = X₁ v X₂ и X₁ =Z₁Z₂; Х₂ = Z₃ v Z₄, тогда Y = Z₁ Z₂ v Z₃ v Z₄.

Система функций, суперпозицией которых может быть представлена любая булева функция, называется функционально полной; она образует базис в логи­ческом пространстве.

Систему функций называют минимально полным базисом, если удаление из нее любой функции превращает эту систему в неполную.

В теории алгебры логики доказано, что функционально полные системы образуют следующие наборы функ­ций:

1. , Х₁ v Х₂, Х₁ Х₂ - НЕ, ИЛИ и И - булев базис, избыточный;

2. , Х₁ v Х₂ - НЕ и ИЛИ;

3. , Х₁ Х₂ - НЕ и И;

4. ; - И-НЕ;

5. - ИЛИ-НЕ и др.

Функционально полные системы логических функций

Любую логическую функцию f двоичных пере­менных х₁, х₂, ..., х_п можно вычислить путем использования логических операций И, ИЛИ и НЕ. С помощью электрон­ных элементов И, ИЛИ и НЕ можно построить функ­циональную схему, реализующую любую логическую функцию.

Очевидно, что набор функций (И, ИЛИ, НЕ) является функционально полным. Набор физических (электронных) элементов, реализующих эти три операции, образует функционально полную систему логических элементов.

Свойствами функциональной полноты обладают также наборы (И, НЕ) и (ИЛИ, НЕ). Действительно, в наборе (И, НЕ) функцию ИЛИ можно выполнить через операции И, НЕ путем эквивалентного преобразования

f = х₁ + х₂ = =

В наборе (ИЛИ, НЕ) функцию И можно выполнить через операции ИЛИ и НЕ следующим образом: f = х₁ + х₂ = = .

Таким образом, набор функций (И, ИЛИ, НЕ) обладает избыточностью.

Функционально полными являются функции И—НЕ, ИЛИ—НЕ. Имея необходимое количество логических элементов И—НЕ либо ИЛИ—НЕ с требуемым числом входов, можно реализовать (т. е. построить функциональ­ную схему) любую логическую функцию.

Для вычисления переключательной функции путем выполнения операции И—НЕ ее необходимо вначале представить в ДНФ. Выполнив далее двойное отрица­ние и применив закон отрицания, мы приведем ЛФ к требуемому виду.

Например, ЛФ f = ₃ + х₃ в соответствии с описанными действиями при­водится к виду

f = =

По этому выражению логическая функция реализуется на элементах И—НЕ в соответствии с рис. 3.8.

Рисунок 3.8

Для реализации ЛФ в базисе ИЛИ—НЕ необходимо записать её сначало в КНФ. Выполнив далее двойное отрицание и применив закон отрицания, получим искомую форму.

Например, ЛФ f = (х₁+ ₂)( ₁ + х₃)( ₁+ х₂) в соответствии с этим примет вид

f = =

По этому выражению логическая функция реализуется на элементах ИЛИ—НЕ в соответствии с рис. 3.9.

Рисунок 3.9

1. Метод непосредственных преобразований

2. Метод Карно-Вейча

Логическую схему, которая реализует заданный алгоритм преобразования сигналов, можно синтезировать непосредственно по выражению, представ­ленному в виде СДНФ или СКНФ. Тем не менее, полученная при этом схема, как правило, не оптимальна с точки зрения ее практической реализации. По­этому исходную логическую функцию обычно минимизируют.

Минимизация логических функций есть нахождение их выражений с минимальным числом букв.

Целью минимизации логической функции является построение экономичных схем компьютеров и уменьшение стоимости её технической реализации. Критерий, соответственно которому выполняется минимизация, далеко не однозначный и зависит как от типа задачи, так и уровня развития технологии.

Основные требования к задаче синтеза: минимальное число элементарных конъюнкций или дизъюнкций в логической формуле и однородность исполь­зуемых операций. Кроме требований минимизации ставится ряд ограничений и условий на выбор элементной базы для синтезированного устройства.

Для минимизации логических функций используют два основных метода: метод Квайка –метод непосредственного преобразования и метод карт Карно (диаграмм Вейча).