3.2.2 Представление логических функций (лф)

СДНФ переключательной функции записывается по таблице истинности.

Для того чтобы по таблице истинности построить СДНФ, надо каждому набору переменных, на котором ЛФ принимает единичное значение, поставить в соответствие элементарную конъюнкцию ранга п и все эти конъюнкции соединить дизъюнктивно; в каждой конъюнкции СДНФ с отрицанием берутся те пере­менные, которые на соответствующем этой конъюнкции наборе имеют нулевое значение.

Используя это правило, запишем в СДНФ функции f₁ и f₂ трех переменных, заданных таблице 3.13.

Таблица 3.13

№	x1	x2	x3	f1	f2
1	0	0	0	0	1
2	0	0	1	1	0
3	0	1	0	0	1
4	0	1	1	1	0
5	1	0	0	0	0
6	1	0	1	1	0
7	1	1	0	0	1
8	1	1	1	0	1

В результате получим следующие выражения:

Для получения f₁ используем 2, 4 и 6 строки

f₁ = + х₂ (3.1)

Для получения f₂ используем 1, 7 и 8 строки.

f₂ = + х₂ + х₁ х₂ х₃ (3.2)

Элементарные конъюнкции СДНФ называют конституантами (составляющими) единицы, так как они соответ­ствуют наборам, при которых ЛФ принимает значения 1.

После составления выражения для f₁ можно по­строить из логических элементов И, ИЛИ, НЕ функцио­нальную схему, которая будет вычислять значение ЛФ f₁.

Чтобы построить функциональную схему для ЛФ, записан­ной в СДНФ, надо взять k ЛЭ И на n входов каждая, где k — число конъюнкций СДНФ, и объединить выходы схем И с помощью элемента ИЛИ на k входов.

Для ЛФ f₁ функциональная (или логическая) схема приведена на рис. 3.6 (на схеме не показаны лишь элементы НЕ, с помощью которых получаются инверсные значения переменных х₁ и x₂).

Рисунок 3.6 Рисунок 3.7

Для каждой функциональной схемы можно сделать оценку ее сложности, которая выражается ценой схемы С (по Квайну).

Цена С определяется суммарным числом входов логических элементов.

Чем меньше вели­чина С, тем проще функциональная схема. Если ЛФ за­дана в СДНФ, ее цену можно выразить формулой:

С = kn + k.

Для ЛФ f₁ - k = 3 -число конъюнкций, а n = 3 –число входов (х₁ х₂ х₃).

Тогда С = 3 х 3 + 3 = 12

Используя правило склеивания (ПРАВИЛО 11), можно упростить ЛФ, заданную в СДНФ.

Для этого в СДНФ сначала склеи­ваются между собой конъюнкции ранга п, затем полу­ченные конъюнкции ранга (n — 1), (n — 2), и так до тех пор, пока в выражении для ПФ не останется ни одной пары склеиваемых между собой конъюнкций. Операция склеи­вания позволяет понизить ранг конъюнкций и сократить их число. В результате уменьшается цена функциональной схемы.

Например, в выражении f₁ = + х₂ выполним склеивание:

-конъюнкций и х₂ по переменной х₂ , получим: ;

-и конъюнкций и по переменной х₁ , получим : .

В результате функция f₁ преобразуется к виду f₁ = + (3.3)

Функциональная схема, реализующая ЛФ f₁ по выра­жению (3.3), изображена на рис. 3.7.

Цена этой схемы С = 6, т. е. по сравнению с эквивалентной схемой на рис. 3.8 цена уменьшилась в 2 раза.

В результате попарного склеивания конъюнкций ранга п, а далее (п — 1), (п — 2) и т. д., в выражении для ЛФ остаются конъюнкции, которые между собой не склеивают­ся.

Конъюнкция, которая не склеивается ни с какой другой конъюнкцией ДНФ, называется простой импликантой.

В выражении (3.3) конъюнкции не склеивают­ся между собой, т. е. они являются простыми импликантами.

ДНФ, представляющая собой дизъюнкцию простых импликант, называется сокращенной ДНФ.