Статистическая обработка данных с использованием
t-критерия Стьюдента
В настоящее время широко распространен метод статистической обработки данных с использованием распределения Стьюдента. Он оказывается весьма эффективным, особенно при малых выборках (6-20 оценок). В литературе основные вычислительные процедуры табулированы, поэтому процесс вычисления может быть сведен к следующей последовательности:
1. Определение вариационного размаха.
В рассматриваемом ряду значений чисел устанавливают амплитуду колебаний (вариационный размах - R), которая представляет собой разность между экстремальными значениями вариационного ряда:
. (24)
2. Определение среднеквадратического отклонения.
Среднеквадратическое отклонение (σ) может быть определено по размаху с помощью коэффициента К, вычисленного для числа наблюдений от 2 до 1000. определяется по формуле (значение К берется из табл. 11):
. (25)
Таблица 11
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
n |
K |
0 |
- |
- |
1,13 |
1,69 |
2,06 |
2,33 |
2,53 |
2,70 |
2,85 |
2,97 |
100 |
5,02 |
10 |
3,08 |
3,17 |
3,26 |
3,34 |
3,41 |
3,47 |
3,53 |
3,59 |
3,64 |
3,69 |
200 |
5,49 |
20 |
3,73 |
3,78 |
3,82 |
3,86 |
3,90 |
3,93 |
3,96 |
4,00 |
4,03 |
4,06 |
300 |
5,76 |
30 |
4,09 |
4,11 |
4,14 |
4,16 |
4,19 |
4,21 |
4,24 |
4,26 |
4,28 |
4,3 |
400 |
5,94 |
40 |
4,32 |
4,34 |
4,36 |
4,38 |
4,40 |
4,42 |
4,43 |
4,45 |
4,47 |
4,48 |
500 |
6,07 |
50 |
4,50 |
4,51 |
4,53 |
4,54 |
4,56 |
4,57 |
4,59 |
4,60 |
4,61 |
4,63 |
600 |
6,18 |
60 |
4,64 |
4,65 |
4,66 |
4,68 |
4,69 |
4,70 |
4,71 |
4,72 |
4,73 |
4,74 |
700 |
6,28 |
70 |
4,75 |
4,77 |
4,78 |
4,79 |
4,80 |
4,81 |
4,82 |
4,83 |
4,83 |
4,84 |
800 |
6,35 |
80 |
4,85 |
4,86 |
4,87 |
4,88 |
4,89 |
4,90 |
4,91 |
4,91 |
4,92 |
4,93 |
900 |
6,42 |
90 |
4,94 |
4,95 |
4,90 |
4,96 |
4,97 |
4,98 |
4,99 |
4,99 |
5,00 |
5,01 |
1000 |
6,48 |
При вычислении среднего квадратического отклонения целесообразно стремиться к уменьшению величины σ и соответственно разности Xmax – Xmin. Поэтому, если в числе наблюдений имеются отдельные точки, обусловливающие большое значение среднеквадратического отклонения, то такие точки могут быть исключены из наблюдений. При этом, конечно, число экспертов (n) должно быть уменьшено. При вычислении σ числитель уменьшается быстрее, чем знаменатель, поэтому параметр σ получается значительно меньше. Существует определенная процедура удаления «подозрительных» значений в выборке.
3. Исключение мини-максных значений (Приложение 3)
4. Определение ошибки среднеквадратического отклонения.
На следующем этапе вычисляется ошибка среднеквадратического отклонения:
(26)
Из данной формулы следует, что m в значительно большей степени зависит от σ, чем от n. Так, уменьшение ошибки на порядок требует либо увеличения согласованности мнений экспертов (уменьшения размаха) на порядок, либо увеличения числа экспертов на два порядка.
Определение среднеарифметического значения величины признака.
Среднеарифметическое значение величины признака определяется по формуле:
(27)
где n – число наблюдений (экспертов).
6. При сравнении двух совокупностей, которые характеризуются соответственно параметрами: M1± m1; n1; σ1 и M2± m2; n2; σ2, необходимо вычислить величину параметра t, с помощью которого осуществляется табулирование:
(28)
при чем для получения положительного знака t из большого значения М1 и М2 вычитается меньшее. Далее по табл. 15 t-распределения Стьюдента на строке при числе степеней свободы f = n1+n2 – 2 и полученном значении t определяют уровень значимости p.
При р < 0,05 различие между сравниваемыми признаками считается статистически достоверным. Так, например, если получено M1± m1 = 297,7± 20,8; n1 = 17; M2± m2 = 367,8 ± 21,9; n2 = 14, то t = 2,32. При f = n1+n2 – 2 по табл. 12 определяем р < 0,05, т.е. различие между сравниваемыми признаками считается статистически достоверным.
Таблица 12
Таблица распределения для t-критерия Стьюдента
Число cтепеней cвободы (f) |
Уровень значимости (р) |
|||||||
0,5 |
0,25 |
0,1 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,002 |
0,001 |
|
1 |
1,00 |
2,41 |
6,31 |
12,7 |
31,82 |
63,7 |
318,3 |
637,0 |
2 |
0,816 |
1,60 |
2,92 |
4,30 |
6,97 |
9,92 |
22,33 |
31,6 |
3 |
0,765 |
1,42 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
5,84 |
10,22 |
12,9 |
4 |
0,741 |
1,34 |
2,13 |
2,78 |
3,75 |
4,60 |
7,17 |
8,61 |
5 |
0,727 |
1,30 |
2,01 |
2,57 |
3,37 |
4,03 |
5,89 |
6,86 |
6 |
0,718 |
1,27 |
1,94 |
2,45 |
3,14 |
3,71 |
5,21 |
5,96 |
7 |
0,711 |
1,25 |
1,89 |
2,36 |
3,00 |
3,50 |
4,79 |
5,40 |
8 |
0,706 |
1,24 |
1,86 |
2,31 |
2,90 |
3,36 |
4,50 |
5,04 |
9 |
0,703 |
1,23 |
1,83 |
2,26 |
2,82 |
3,25 |
4,30 |
4,78 |
10 |
0,700 |
1,22 |
1,81 |
2,23 |
2,76 |
3,17 |
4,17 |
4,59 |
11 |
0,697 |
1,21 |
1,80 |
2,20 |
2,72 |
3,11 |
4,03 |
4,44 |
12 |
0,695 |
1,21 |
1,78 |
2,18 |
2,68 |
3,05 |
3,93 |
4,32 |
13 |
0,694 |
1,20 |
1,77 |
2,16 |
2,65 |
3,01 |
3,85 |
4,22 |
14 |
0,692 |
1,20 |
1,76 |
2,14 |
2,62 |
2,98 |
3,79 |
4,14 |
15 |
0,691 |
1,20 |
1,75 |
2,13 |
2,60 |
2,95 |
3,73 |
4,07 |
16 |
0,690 |
1,19 |
1,75 |
2,12 |
2,58 |
2,92 |
3,69 |
4,01 |
17 |
0,689 |
1,19 |
1,74 |
2,11 |
2,57 |
2,90 |
3,65 |
3,96 |
18 |
0,688 |
1,19 |
1,73 |
2,10 |
2,55 |
2,88 |
3,61 |
3,92 |
19 |
0,688 |
1,19 |
1,73 |
2,09 |
2,54 |
2,86 |
3,58 |
3,88 |
20 |
0,687 |
1,18 |
1,73 |
2,09 |
2,53 |
2,85 |
3,55 |
3,85 |
21 |
0,686 |
1,18 |
1,72 |
2,08 |
2,52 |
2,83 |
3,53 |
3,82 |
22 |
0,686 |
1,18 |
1,72 |
2,07 |
2,51 |
2,82 |
3,51 |
3,79 |
23 |
0,685 |
1,18 |
1,71 |
2,07 |
2,50 |
2,81 |
3,49 |
3,77 |
24 |
0,685 |
1,18 |
1,71 |
2,06 |
2,49 |
2,80 |
3,47 |
3,74 |
25 |
0,684 |
1,18 |
1,71 |
2,06 |
2,249 |
2,79 |
3,45 |
3,72 |
26 |
0,684 |
1,18 |
1,71 |
2,06 |
2,48 |
2,78 |
3,44 |
3,71 |
27 |
0,684 |
1,18 |
1,71 |
2,05 |
2,47 |
2,77 |
3,42 |
3,69 |
28 |
0,683 |
1,17 |
1,70 |
2,05 |
2,47 |
2,76 |
3,41 |
3,67 |
29 |
0,683 |
1,17 |
1,70 |
2,05 |
2,46 |
2,76 |
3,40 |
3,66 |
30 |
0,683 |
1,17 |
1,70 |
2,04 |
2,46 |
2,75 |
3,39 |
3,65 |
∞ |
0,674 |
1,15 |
1,64 |
1,96 |
2,33 |
2,58 |
3,09 |
3,29 |
ПРИЛОЖЕНИЕ 3