Матрицы
Матрицы — это ещё одно обобщение
чисел. Мы с вами изучим матрицы
.
Определение 11
Матрицы — это таблицы чисел вида
на которых определены операции сложения и умножения. А именно, пусть
Тогда
Примечание
Первый индекс соответствует номеру строчки, второй — номеру столбца. Правила сложения и умножения можно коротко обозначить так:
Если бы мы рассматривали матрицы
,
то правило умножения выглядело бы так:
Чтобы получить элемент матрицы
,
стоящий в
-ой
строчке и
-ом
столбце, нужно взять
-ую
строчку матрицы
и
-ый
столбец
,
а затем взять их произведение —
перемножить соответствующие элементы
и сложить.
Задача 97[8]
Пусть
Вычислите:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
Определение 12.
Матрица
называется единичной матрицей.
Задача 98[9]
Докажите, что
для любой матрицы .
Таким образом, единичная матрица обладает такими же свойствами, как и число — умножение на не меняет число.
Определение 13
Введем обозначение:
Задача 99[9]
Докажите, что
то есть произведение матрицы
на
саму себя дает единичную матрицу с
минусом.
Определение 14
Матрицы можно умножать на число, при этом каждый элемент матрицы умножается на это число. Например:
Задача 100[9]
Покажите, что а)
;
б)
;
в)
.
Задача 101[9]
Раскройте скобки
Введем обозначение
Задача 102[9]
Найдите результат умножения матриц
.
Подсказка Обратите внимание на то,
что получится снова матрица вида
,
то есть матрица, у которой на диагонали
(верхний левый угол — нижний правый)
стоят одинаковые числа, а два числа на
другой диагонали противоположны.
Задача 103[9]
Найдите результат умножения матриц
.
Задача 104[9]
Покажите, что матрицы вида
с
операциями сложения и умножения матриц
соответствуют комплексным числам с
операциями сложения и умножения
комплексных чисел.
Задача 105[11]
На основе предыдущей задачи предположите, чему равно
Решение
.
Подсказка Чему равно
?
Определение 15
Матрица называется обратной к матрице , если
Задача 106[9]
Найдите матрицу, обратную к матрице , то есть найдите
Задача 107[10]
Система линейных уравнений
может быть записана как
Покажите, что решение этой системы может быть записано как
Рекомендуемая литература
«Теорема Абеля в задачах», В. Б. Алексеев, — М.:МЦНМО, 2001.