Абстрактный подход

Комплексные числа можно рассматривать как множество пар действительных чисел, на котором специальным образом определены операция сложения, умножения и деления. Паре соответствует число . Операция сложения на этих парах определяется очевидным образом — надо просто сложить соответствующие элементы пар:

Найдем, как определяется умножение для этих пар:

Таким образом, мы можем дать такое определение комплексным числам:

Определение 5

Комплексные числа — это множество пар действительных чисел, на которых определены операции сложения «  » и умножения «  » по следующим правилам:

Задача 38[9]

Покажите, что а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Такой подход к определению комплексных чисел требует доказательства многих фактов, которые в предыдущей части (когда мы рассматривали как некоторую переменную, для которой выполнено ) были очевидны.

Задача 39[10]

Пусть , , комплексные числа. Докажите, что верны следующие свойства:

(коммутативность умножения),

(ассоциативность умножения), (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Вычитание определяется очевидным образом:

Определить операцию деления несколько сложнее. Деление — это операция обратная к умножению. Следующая теорема утверждает корректность операции деления.

Теорема 1 (О существовании деления)

Пусть даны два комплексных числа и . Тогда уравнение

[1]

относительно имеет ровно одно решение.

Это решение обозначим как частное:

В принципе, мы уже научились делить в предыдущей части — нужно просто числитель и знаменатель умножить на сопряженное, после чего в знаменателе будет действительное положительное число, равное квадрату модуля знаменателя. Это значит, что хотя бы одно решение у уравнения [1] точно есть. Чтобы показать единственность решения, применим метод доказательства от противного. Пусть у нас есть два решения уравнения [1]:

где . Тогда после вычитания одного уравнения из другого получим

Но мы знаем, что модуль произведения равен произведению модулей. Оба множителя, и , не равны нулю, значит их модули не равны нулю, значит их произведение не может быть равно нулю, так как модуль произведения равен произведению модулей. Поэтому последнее равенство не может быть верным, и не может быть два разных решения у уравнения [1]. Есть другой подход к доказательству этой теоремы. Пусть

Распишем подробно:

Последняя строчка соответствует системе из двух уравнений:

Когда эта система имеет решение? Умножим первое уравнение на , а второе — на :

И сложим их:

Задача 40[10]

Покажите, что

Как видите, и определяются вполне однозначно, если , то есть когда комплексное число . Это и означает, что любое комплексное число можно делить на любое другое, не равное , комплексное число.

Геометрическая интерпретация

В этой части мы будем изучать различные геометрические свойства комплексных чисел: преобразования комплексной плоскости, множества на комплексной плоскости, геометрическую интерпретацию сложения и умножения. Итак, комплексные числа образуют плоскость. Координатные оси на этой плоскости соответствуют действительной и мнимой части комплексного числа. Два числа — действительная часть ( ) и мнимая часть ( ) — определяют комплексное число на комплексной плоскости.