Глава I механические свойства

1.1 Проверка законов движения на машине атвуда Цель работы: изучение законов Ньютона, проверка законов равноускоренного движения.

I. Теоретическое введение

В случае движения материальной точки для модуля скорости имеет место следующее значение

(1)

Если известна скорость V , то можно найти путь s

(2)

При равномерном движении V =const, тогда

(3)

В выражениях (1) и (3) скорость измеряется в м/с, путь в м и время в с.

Быстрота изменения величины скорости характеризуется ускорением. В общем случае произвольного криволинейного движения вектор скорости может изменяться и по величине и по направлению.

В связи с этим различают тангенциональное (касательное), нормальное и полное ускорения.

Тангенциональное ускорение

(4)

нормальное (5)

Модуль полного ускорения

(6)

Ускорение измеряется в м/с².

В случае равномерного криволинейного движения

V =const, ,

При прямолинейном движении

, ,

При криволинейном движении со временем изменяется угол поворота. Быстрота изменения угла поворота характеризуется угловой скоростью

(7)

где - измеряется в рад, → , так как рад – безразмерная величина.

Между линейной скоростью и угловой существует следующая связь

(8)

Если угловая скорость со временем изменяется, вводится угловое ускорение

(9)

- измеряется в .

Между угловым и тангенциональным ускорением имеет место соотношение

(10)

Скорость и ускорение – векторные величины, радиус-вектор - тоже векторная величина. В следствии этого выражения (8) и (10) в векторном виде можно переписать следующим образом:

(11)

(12)

Причиной равномерного или ускоренного движения тела согласно Ньютону, является сила. Если векторная сумма сил, действующих на тело, равна нулю, то тело движется равномерно и прямолинейно:

, (13)

Если , то , тогда

(14)

Выражения (13) и (14) определяют первый и второй законы Ньютона. В случае вращательного движения второй закон Ньютона записывается следующим образом

M = J ε (15)

В выражениях (14) и (15) соответственно имеем: - сила, измеряется в Н, m – масса тела, измеряется в кг, - момент силы, измеряется в Н·м, - момент инерции, измеряется кг·м².

II. Приборы и принадлежности

1. Машина Атвуда

2. Секундомер.

III. Выполнение работы

Устройство машины Атвуда изображено на рис. 1. Легкий алюминиевый блок (1) свободно вращается вокруг оси, укреплённой в верхней части прибора. Через блок перекинута тонкая нить, на концах которой висят грузы А и Б, имеющие равные массы "m". На груз Б могут надеваться один или несколько перегрузков. Система грузов в этом случае выходит из равновесия и начинает двигаться ускоренно.

В начале опыта груз А удерживается неподвижно с помощью электромагнита (2). Выключение тока ключом (3) освобождает груз А и приводит нить с грузами в движение. Если на груз Б надеть перегрузки, превышающие по весу силу трения на оси блока, то система начнет двигаться равноускоренно.

Величину ускорения можно найти, пользуясь законами поступательного и вращательного движения. На каждый из движущихся грузов действуют две силы: сила тяжести, , направленная вниз, и сила натяжения нити , направленная вверх (рис 2).

Груз А массой m₁ поднимается равноускоренно вверх, следовательно,

Т ₁ > Р₁ или Т₁ > m₁g.

По второму закону Ньютона равнодействующая этих сил, равная по величине их разности, прямо пропорциональна массе груза и ускорению а, с которым он движется.

Т₁ − m₁g = m₁а

отсюда

Т₁ = m₁g + m₁а (16)

Г руз Р₂ ускоренно опускается вниз, следовательно, T₂<m₂g. Запишем формулу второго закона для этого груза:

m₂g – Т₂ = m₂а

откуда

Т₂ = m₂g – m₂a (17)

Согласно закону динамики вращательного движения вращающий момент М, приложенный к диску, равен произведению момента инерции I диска на его угловое ускорение ε

М = J ε (смотри формулу (15))

Момент инерции учитывает не только массу вращающегося тела, но и распределение этой массы относительно оси вращения. Сумма произведений элементарных масс на квадрат их расстояния от оси вращения называется моментом инерции тела относительно оси:

J = ∑ ∆m_i r_i²

Моментом силы называется вектор М, равный по величине произведению модуля силы на плечо:

Определение вращающего момента

Силы натяжения нитей действуют не только на грузы, но и на диск. По третьему закону Ньютона силы и , приложенные к ободу диска, по величине равны соответственно силам и , но по направлению им противоположны. При движении грузов диск ускоренно вращается по часовой стрелке, следовательно, T₂' > Т₁'

Вращающий момент, приложенный к диску, равен произведению разности этих сил на плечо, равное радиусу диска, то есть.

l = r и М = (Т₂' – Т₁') · r

Момент инерции диска ; угловое ускорение связано с линейным ускорением грузов соотношением . Подставив в формулу (15) выражения M, J и ε получим:

откуда

Так как Т₁' = Т₁ и Т₂' = Т₂, то можно заменить силы Т₁' и Т₂' выражениями по формуле (16) и (17), тогда

или

(18)

где

m1 m2 m

масса левого груза; масса правого груза с перегрузками; масса блока.

Более точное определение ускорения движения системы требует учёта силы трения.

На машине Атвуда можно проверить законы равномерного и равноускоренного движения и второй закон Ньютона.