Розв’язання.

а) Обчислення потрійного інтегралу в декартових координатах.

Очевидно, що в даному випадку , , . Тому за формулою (2.4) маємо:

;

б) Обчислення потрійного інтеграла в циліндричних координатах ( , , ).

Очевидно, що в даному випадку , , , . Тому за формулою (2.5) маємо:

;

в) Обчислення потрійного інтеграла в сферичних координатах ( , , ).

Очевидно, що в даному випадку , , , ( ). Тоді за формулою (2.6) маємо:

.

2. Застосування потрійних інтегралів для обчислення об’ємів

просторових тіл в декартових, циліндричних

та сферичних координатах

Об’єм просторового тіла, що займає область , визначається за формулами:

(в декартових координатах) (2.7)

(в циліндричних координатах) (2.8)

(в сферичних координатах) (2.9)

Процедура обчислення об’єму просторового тіла принципово не відрізняється від обчислення потрійного інтеграла, в якому .

2. Застосування потрійних інтегралів для обчислення маси,

статичних моментів, моментів інерції

та координат центра ваги

Зазначені застосування належать до механічних застосувань потрійних інтегралів.

Якщо – деяка область простору, яку займає матеріальне тіло з густиною , то:

а) Маса тіла , що має об’єм , визначається формулою:

, (2.10)

б) Статичні моменти , , тіла відносно координатних площин , , визначаються формулами:

,

, (2.11)

.

в) Координати центра ваги визначаються формулами:

, , . (2.12)

г) Моменти інерції , , відносно координатних осей , , , момент інерції , , відносно координатних площин , , і момент інерції відносно початку координат визначаються формулами відповідно:

,

, (2.13)

,

, (2.14)

(2.15)

Приклад.

Знайти координати центра ваги тіла, обмеженого поверхнями , , , , .

Розв’язування. Припустимо, що маса рівномірно розподілена в об’ємі тіла , тобто . Тоді, враховуючи формули (2.10), (2.11) і (2.12), маємо:

;

Обчислення за цією формулою дає:

.

;

.

Далі маємо:

;

Обчислення за цією формулою дає:

,

;

.

Далі маємо:

,

Обчислення за цією формулою дає:

,

.

Приклад.

Знайти момент інерції однорідного за масою куба; , , , відносно його ребра.

Розв’язування. Використовуємо формулу (2.13), в якій приймаємо . Маємо:

.

.

] Частина ііі. Завдання для самостійної роботи

3.1. Варіанти завдань а), б), в)

Для самостійної роботи з подвійних інтегралів

а)	Здійснити зміну порядку інтегрування в заданому подвійному інтегралі.
б)	За допомогою формули обчислити середнє значення функції в плоскій області .
в)	Обчислити координати центра ваги однорідної плоскої області .

1.	а)	;
	б)	;
	в)	;

2.	а)
	б)	,
	в)	;

3.	а)
	б)
	в)	;

4.	а)
	б)	,
	в)	;

5.	а)
	б)	,
	в)	;

6.	а)
	б)	,
	в)	;

7.	а)
	б)	,
	в)	;

8.	а)
	б)	,
	в)	;

9.	а)
	б)	,
	в)	;

10.	а)
	б)	,
	в)	;

11.	а)
	б)	,
	в)	;

12.	а)
	б)	,
	в)	;

13.	а)
	б)	;
	в)	;

14.	а)
	б)	;
	в)	;

15.	а)
	б)	, ;
	в)	;

16.	а)
	б)	,
	в)	;
17.	а)
	б)	,
	в)	;

18.	а)
	б)	,
	в)	;

19.	а)
	б)	,
	в)	;

20.	а)
	б)	,
	в)	;

21.	а)
	б)	,
	в)	;

22.	а)
	б)	,
	в)	;

23.	а)
	б)	, ;
	в)	;

24.	а)
	б)	,
	в)	;

25.	а)
	б)	, ;
	в)	;

26.	а)
	б)	, ;
	в)	;

27.	а)
	б)	,
	в)	;

28.	а)
	б)	, ;
	в)	;

29.	а)
	б)	,
	в)	;

30.	а)
	б)	, ;
	в)	;