Частина іі. Потрійні інтеграли

2.1. Означення, теорема існування та властивості

потрійного інтеграла

Хай неперервна функція (або функція точки ) визначена в обмеженій замкнутій просторовій області . Розіб’ємо цю область довільним способом на часткових просторових комірок, які мають об’єми , , ..., . В кожній такій комірці виберемо по одній довільній точці і обчислимо значення функції в кожній із цих точок. Укладемо так звану інтегральну суму функції по області :

(2.1)

Потрійним інтегралом від функції по області називається границя інтегральних сум виду (2.1) при прямуванні до нуля найбільшого із діаметрів всіх комірок даного розбиття:

(2.2)

Якщо функція неперервна в замкнутій області , то границя інтегральної суми існує і не залежить ні від способу розбиття області на елементарні комірки, ні від вибору точок в кожній із комірок (теорема існування потрійного інтеграла) [1, 2].

Якщо в області , то потрійний інтеграл являє собою масу тіла, яке займає область і має змінну густину (фізичний зміст потрійного інтеграла).

Основні властивості потрійних інтегралів аналогічні властивостям подвійних інтегралів.

2. Обчислення потрійних інтегралів в декартових, циліндричних та сферичних координатах

Перехід від декартових до циліндричних та сферичних координат.

В декартових координатах потрійний інтеграл записується

. (2.3)

Якщо область інтегрування визначається нерівностями , , , де , , , – неперервні функції, то потрійний інтеграл від функції , поширений на область , обчислюється за формулою

(2.4)

Якщо при обчисленні потрійного інтеграла необхідно перейти від змінних до нових змінних , які зв’язані співвідношеннями , , , де функції , , , неперервні разом зі своїми похідними першого порядку, встановлюють взаємно однозначну і в обидві сторони неперервну відповідність між точками області простору і точками деякої області простору і якобіан в області не обертається в нуль:

,

то використовують формулу

.

Зокрема, при переході від декартових координат до циліндричних координат , враховується те, що між ними існує зв’язок, що задається співвідношеннями , , ( ). Положення точки в просторі, яке однозначно визначається в цій системі, показане на рис. 1. Якобіан перетворення . В сферичній системі координат , які зв’язані з декартовими співвідношеннями , , ( ), . Положення точки у просторі в цій системі показане на рис. 2.

			0													0
		Рис. 1														Рис. 2

Формула перетворення потрійного інтеграла до циліндричних координат має вид:

(2.5)

У випадку сферичних координат формула перетворення записується:

(2.6)

Наведемо приклад, в якому обчислення одного і того ж потрійного інтеграла здійснюється спочатку в декартових, а потім в циліндричних і сферичних координатах.

Областю інтегрування є частина простору , обмежена сферою і площинами .