Частина і. Подвійні інтеграли

1. Визначення, теорема існування та властивості подвійного інтеграла

Хай функція визначена в обмеженій замкнутій області площини . Розіб’ємо область будь-яким способом на елементарних областей, які мають площі і діаметри (діаметр – найбільша із віддалей між двома точками межі цієї області). Виберемо в кожній елементарній області довільну точку і помножимо значення функції в цій точці на площу елементарної області.

Інтегральною сумою для функції по області називається сума виду

(1.1)

Подвійним інтегралом від функції по області називається границя інтегральних сум виду (1.1) при умові, що найбільший із діаметрів елементарних областей прямує до нуля:

(1.2)

Якщо функція неперервна в замкнутій області , то границя інтегральної суми (1.2) існує і не залежить ні від способу розбиття області на елементарні області, ні від вибору точки в кожній із них. (теорема про існування подвійного інтеграла)

Якщо в області , то подвійний інтеграл чисельно дорівнює об’єму циліндричного тіла, обмеженого зверху поверхнею , збоку – циліндричною поверхнею з твірними, що паралельні вісі , а знизу – областю площини (геометричний зміст подвійного інтеграла).

Основні властивості подвійних інтегралів

1. (1.3)

2. , де – стала величина (1.4)

3. Якщо область інтегрування розбита на дві (може бути більша кількість таких областей) області і , то

(1.5)

В декартових координатах , тому подвійний інтеграл в декартовій системі записується

(1.6)

1.2. Обчислення подвійних інтегралів в декартових координатах. Застосування зміни порядку інтегрування

Існує два основних види простих областей інтегрування (область, проста відносно вісі і область, проста відносно вісі )

1. Область інтегрування обмежена зліва і зправа прямими і , а знизу і зверху – неперервними кривими і , кожна з яких перетинається вертикальною прямою, що проходить через відрізок , тільки в одній точці (область - проста відносно осі ).

Рис. 1

Для такої області подвійний інтеграл обчислюється за формулою

, (1.7)

причому спочатку обчислюється за змінною “внутрішній” інтеграл , в якому вважається сталим.

2. Область інтегрування обмежена знизу і зверху прямими і , а зправа а зліва – відповідно неперервними кривими і . , кожна із яких перетинається горизонтальною прямою тільки в одній точці (рис. 2) (в цьому випадку область - проста відносно вісі )

Рис. 2

Для такої області подвійний інтеграл обчислюється за формулою

, (1.8)

причому спочатку обчислюється за змінною “внутрішній” інтеграл , в якому вважається сталим.

Праві частини вказаних формул називаються двократними, або повторними інтегралами.

Таким чином, подвійний інтеграл , обчислюється за допомогою приведення його до двократного або повторного інтеграла.

Розглянемо приклади.

Приклад.

Обчислити , де область інтегрування обмежена лініями , , .

Розв’язання. Область інтегрування має форму трикутника (рис. 3).

2

3

Рис. 3

Тут область є простою відносно вісі і тому для знаходження інтеграла слід застосувати формулу (1.7). Згідно з нею

.

Приклад.

Обчислити , де область обмежена лініями , , , .

Розв’язання. Область інтегрування має більш складну форму (рис. 4).

1

1

2

Рис. 4

В цьому випадку слід зробити наступний доцільний вибір порядку інтегрування: попередній порядок не підходить, бо він пов’язаний з розбиттям області на дві складові області: і . Тому область слід розглядати як просту відносно вісі і вибрати формулу (1.9). Згідно з нею

Коли б зазначений вище вибір порядку інтегрування не був зроблений, то інтегрування проводилось би по двох областях, кожна із яких проста відносно вісі :

, .

Обчислюваний інтеграл був би записаний за формулою (1.7) і його обчислення дає:

.

Кінцеві результати, звичайно, співпадають, але у другому випадку процедура інтегрування виявилась в певній мірі складнішою.

Зауваження. Слід заключити, що в ряді випадків з метою спрощення процедури інтегрування в подвійному інтегралі доцільно змінювати порядок інтегрування в ньому. Ця техніка повинна бути знайомою для студентів і добре ними відпрацьованою. Для набуття відповідних навичок ми пропонуємо не тільки блок завдань для відпрацювання техніки повторного інтегрування, але і блок завдань на опрацювання зміни порядку інтегрування.