1.2. Елементи кінематики абсолютно твердого тіла

Рух макроскопічного тіла можна розглядати як сукупність рухів окремих його частинок. Тому найпростішим є розгляд руху абсолютно твердого тіла, оскільки в такому тілі відсутні взаємні переміщення частинок тіла. Найпростішим випадком руху абсолютно твердого тіла є поступальний рух (аналог прямолінійного руху матеріальної точки), під час якого будь-яка пряма лінія, яка з’єднує довільні точки тіла залишається паралельною сама до себе. Рух тіла називається плоским, якщо кожна точка тіла рухається в одній з паралельних площин. Обертальним рухом твердого тіла – називають такий рух, під час якого траєкторії всіх часток тіла є колами з центрами, розміщеними на одній прямій.

У загальному випадку рух тіла може бути достатньо складним, а тому для спрощення розгляду його намагаються представити як суперпозицію поступального та обертового рухів. За цих умов миттєву швидкість руху -тої матеріальної точки тіла можна записати у вигляді суми двох складових

(1.6)

де - кутова швидкість обертання, - координата - тої точки відносно центра обертання.

Даний підхід не дає однозначної картини. Зокрема, кочення однорідного диска можна представити як у вигляді суми поступального (з швидкістю ) і обертального (з кутовою швидкістю ) рухів, так і у вигляді лише обертання відносно так званої миттєвої осі, що проходить через точку дотику диска до поверхні, по якій він котиться.

Рух абсолютно твердого тіла часто характеризують числом його ступенів вільності, тобто кількістю незалежних координат, що повністю описують його рух. В загальному випадку число ступенів вільності абсолютно твердого тіла не може перевищувати 6 (три поступальні ступені вільності, яким відповідають координати x, y, z та три обертові, яким відповідають кутові швидкості , і відносно трьох взаємно перпендикулярних осей).

2. Основи динаміки

2.1. Закони динаміки матеріальної точки

Видатний італійський учений Галілео Галілей показав, що всяке тіло має властивість зберігати швидкість свого руху, а змінити цей стан може лише дія інших тіл. Властивість тіла зберігати стан спокою або рівномірного прямолінійного руху називають інертністю тіла. Мірою інертності тіла є його маса . На підставі даного факту Ісааком Ньютоном було сформульовано три головні закони динаміки, які в сучасному трактуванні виглядають так:

Перший закон – Існують системи відліку, відносно яких тіло перебуває в стані спокою або рівномірного прямолінійного руху, якщо дія на нього інших тіл відсутня або компенсується.

Системи відліку, для яких виконується перший закон Ньютона, називають інерційними. Поняття інерційної системи дещо неозначене, оскільки одна і та ж система відліку, залежно від характеру задачі, може бути інерційною або неінерційною. Стверджуємо, що інерційною є система відліку, яка рухається рівномірно і прямолінійно (або перебуває в стані спокою) відносно іншої інерційної системи відліку. Закони Ньютона виконуються лише в інерційних системах відліку.

Оскільки зміна стану руху тіла визначається дією на тіло інших тіл, то кількісно цю дію характеризуємо векторною величиною – силою. З результатів експериментів випливає другий закон динаміки Ньютона.

Другий закон – Прискорення, з яким рухається тіло, прямо пропорційне силі , що діє на тіло і обернено пропорційне масі тіла:

, або (2.1)

У даному виразі - сумарна сила, що діє на тіло з боку інших тіл ( ). Відзначимо, що поняття маси може бути введене як з другого закону Ньютона ( - інертна маса), так із закону всесвітнього тяжіння

, (2.2)

( - гравітаційна маса тіла, – маса Землі). Досліди показують, що дані маси принаймні прямо пропорційні. Тому надалі вважатимемо . Принцип тотожності гравітаційної та інертної мас взято за основу загальної теорії відносності.

Третій закон – Дія одного тіла на інше має характер взаємодії: тіла взаємодіють з силами рівними за величиною та протилежними за напрямом

(2.3)

За характером взаємодії в механіці розрізняють три типи сил: сили тяжіння, сили тертя і пружні сили. Сили тяжіння проявляють себе як результат взаємодії тіл на відстані через гравітаційне поле. Сили тертя та пружні сили за своєю природою електромагнітні й проявляються унаслідок взаємодії тіл через дотик.

Вираз другого закону Ньютона можна подати в наступному вигляді:

, або . (2.4)

- імпульс тіла, - імпульс сили. З останнього виразу випливає, що необхідною умовою збереження імпульсу тіла є . Тобто імпульс тіла залишається сталим, якщо імпульс прикладених до тіла сил дорівнює нулю.

Важливим наслідком другого закону Ньютона є можливість повністю описати рух тіла, якщо відомі аналітичні вирази для залежностей діючих сил від координат і часу, а також задано початкові положення і швидкість тіла. В цьому випадку рівняння, що виражає другий закон Ньютона, перетворюється у так зване рівняння руху. Зокрема, для руху матеріальної точки отримуємо:

, або . (2.5)

У останньому виразі - радіус вектор (координата) матеріальної точки.