7.2. Коливання під дією пружної сили. Енергія коливань

Якщо ізольовану систему початково вивести з положення рівноваги дією деформуючої сили, то після ізоляції системи внутрішні сили намагатимуться повернути систему в початковий рівноважний стан. За цих умов у системі виникнуть коливання, які називають вільними (власними). Як приклад, розглянемо коливання в системі описаній у розділі 5.3.

Згідно з виразом (5.10) рівняння руху пластини масою під дією пружної сили:

, або (7.9)

Якщо ввести позначення , то вираз (7.9) набуде вигляду виразу (7.6). Розв’язком цього рівняння є функція:

(7.10)

Оцінимо тепер енергію коливної системи. Згідно з (5.12) енергія системи, зображеної на рис.14 дорівнює:

Підставивши у вираз для значення та , отримаємо:

(7.11)

Вираз (7.11) підтверджує, що в коливній системі має місце почергове перетворення потенціальної енергії деформації пружини в кінетичну енергію руху пластини і навпаки:

, (7.12)

З виразу (7.11) можна показати, що середня кінетична енергія гармонійного коливання дорівнює його середній потенціальній енергії. Для цього слід усереднити вирази та впродовж періоду³:

З виразів видно, що , бо .

7.3. Вільні коливання систем під дією пружних та квазіпружних сил

7.3.1. Коливання крутильного маятника

Крутильним маятником називають тіло А з відомим моментом інерції , підвішене на дротині В.

Т іло може виконувати крутильні коливання під дією моменту пружної сили , що виникає у процесі закручування дротини:

(7.13)

де - модуль кручення, - кут закручування дротини. Рівняння руху системи:

(7.14)

Розв’язок рівняння руху . Тут - амплітуда, максимальний кут закручування дротини, , а період коливань:

(7.15)

7.3.2. Коливання математичного маятника

Математичним маятником називають матеріальну точку масою , підвішену на невагомій і нерозтяжній нитці довжини , яка коливається у вертикальній площині під дією сили тяжіння. Коли система перебуває в спокої (матеріальна точка в положенні А), то сила тяжіння зрівноважена силою натягу нитки . Якщо матеріальну точку з ниткою відхилити на деякий кут (точка В), то рівнодійна сил натягу і земного тяжіння намагається повернути систему в положення рівноваги. Для малих кутів відхилення , тому вираз для можна записати . Ця сила створює обертовий момент сили , напрямлений перпендикулярно до площини рисунка, який намагається повернути систему в положення рівноваги. наком “-” підтверджено, що повертаючий момент діє в напрямі, протилежному до зростання кута відхилення .В це положення рівноваги матеріальна точка повертається по дузі кола радіуса . Рівняння руху матеріальної точки по коловій траєкторії можна записати на підставі (2.10а) у вигляді:

.

Врахувавши, що . отримаємо

(7.16)

Отже, рівняння руху запишеться у вигляді:

, або (7.17)

Тут , а період коливань:

(7.18)

Зазначимо, що точніший вираз для періоду коливань математичного маятника можна записати у вигляді:

(7.19)

де - максимальний кут відхилення маятника. Якщо , то відносна похибка розрахунку періоду за виразом (7.18) порівняно з результатом, отриманим за допомогою (7.19), є меншою за 0,5%.