- •Механіка
- •Список рекомендованої літератури
- •Перелік лабораторних робіт з механіки
- •Зразок оформлення звіту про виконану роботу
- •Фізичний експеримент. Математичне опрацювання результатів вимірювань
- •1. Фізичні величини та їхнє вимірювання
- •2. Опрацювання результатів прямих вимірювань
- •Обчислення з наближеними числами. Правила заокруглення
- •Вступ. Основні поняття класичної механіки
- •1.2. Елементи кінематики абсолютно твердого тіла
- •2. Основи динаміки
- •2.1. Закони динаміки матеріальної точки
- •2. 2. Закони динаміки системи матеріальних точок. Теорема про рух центра мас
- •2.3. Закон динаміки обертального руху матеріальної точки
- •2.4. Закон динаміки обертального руху абсолютно твердого тіла
- •3. Сили в механіці
- •3.1. Гравітаційні сили
- •3.2. Сили тертя
- •3.3. Пружні сили
- •3.3.1. Деформація розтягу (стиску). Закон Гука
- •3.3.2. Деформації зсуву, кручення та згину
- •4. Робота та енергія
- •4.1. Робота, енергія, кінетична енергія
- •4.2. Кінетична енергія обертального руху
- •4.3. Консервативні сили. Потенціальна енергія
- •4.4. Центрально-симетричне поле
- •4.5. Потенціальна енергія тіла у полі сил тяжіння Землі.
- •4.6. Потенціальна енергія розтягненої (стисненої) пружини
- •4.7. Зв’язок між силою, що діє на тіло, і його потенціальною енергією
- •5. Закони збереження в механіці
- •5.1. Закон збереження імпульсу
- •5.2. Закон збереження моменту імпульсу
- •5.3. Закон збереження механічної енергії
- •5.4. Застосування законів збереження для опису зіткнень
- •5.4.1. Абсолютно пружний центральний удар двох тіл
- •5.4.2. Абсолютно пружний нецентральний удар
- •5.4.3. Абсолютно непружний удар.
- •6. Механіка рідин
- •6.1. Закони гідростатики
- •6.2. Основні поняття гідродинаміки. Стаціонарний рух рідини. Рівняння Бернуллі
- •6.3. Рух в’язкої рідини. Ламінарна і турбулентна течія. Формула Пуазейля.
- •6.4. Рух твердих тіл у рідинах
- •7. Коливання в механічних системах
- •7.1. Характеристики гармонійних коливань
- •7.2. Коливання під дією пружної сили. Енергія коливань
- •7.3. Вільні коливання систем під дією пружних та квазіпружних сил
- •7.3.1. Коливання крутильного маятника
- •7.3.2. Коливання математичного маятника
- •7.3.3 Коливання фізичного маятника
- •7.4. Додавання коливань
- •7.4.1. Додавання коливань однакового напрямку
- •7.4.2. Додавання взаємно перпендикулярних коливань
- •7.5. Коливання за наявності сил опору середовища. Згасаючі коливання та їх характеристики.
- •7.6. Вимушені коливання
- •7.7. Параметричне збудження коливань
- •7.8. Автоколивання
- •8. Пружні хвилі
- •8.1. Характеристики хвиль
- •8.2. Рівняння хвилі
- •8.3. Хвильове рівняння
- •8.4. Швидкість поширення пружних хвиль в середовищі
- •8.5. Енергія пружних хвиль
- •8.6. Інтерференція хвиль. Стояча хвиля
- •8.7. Дифракція хвиль
- •8.8. Звукові хвилі
- •9. Математичний додаток
- •9.1. Вектори та математичні дії з векторами.
- •9.1.1. Елементарні дії з векторами
- •9.1.2. Скалярний добуток двох векторів
- •9.1.3. Векторний добуток двох векторів
- •9.1.4. Подвійний векторний добуток трьох векторів
- •9.2. Поняття функції багатьох змінних. Частинні похідні. Повний диференціал. Градієнт скалярної функції багатьох змінних
- •9.3. Комплексні числа та їх використання під час розгляду коливних і хвильових процесів
4.4. Центрально-симетричне поле
Силове поле називають центральним, якщо в усіх його точках сили, що діють на тіла, внесені у це поле, напрямлені вздовж прямих, які перетинаються у певній точці – центрі сил. Центральне поле називається сферично - (центрально -) симетричним, якщо числове значення сили, що діє на тіло, залежить тільки від відстані r від центра сил.
Силові поля, що характеризують гравітаційну взаємодію точкових мас або електростатичну взаємодію точкових зарядів, є центрально- симетричними. Це видно із запису законів Ньютона для гравітаційної сили та закону Кулона для взаємодії точкових зарядів:
(4.13)
(4.14)
Нагадаємо, що – гравітаційна стала; M і m – маси матеріальних точок; r – відстань між взаємодіючими тілами; k– електрична стала, залежна від вибору системи одиниць; Q і q– величина точкових зарядів.
Запис виразів (4.13) і (4.14) у векторній формі дає змогу стверджувати, що сила взаємодії паралельна чи антипаралельна (в залежності від притягання чи відштовхування тіл), тобто лежить на прямій проведеній з центра до точки спостереження.
У полі гравітаційних сил і антипаралельні (має місце притягання):
(4.15)
Покажемо, що центрально-симетричне поле консервативне і знайдемо потенціальну енергію тіла в цьому полі.
Розглянемо взаємодію двох матеріальних точок масами та . Нехай , початок координат співпадає з точкою маси , а координата точки задається радіус-вектором . Вважаємо, що між тілами діють лише сили гравітаційного притягання і тіло масою переміщується в полі закріпленого тіла масою з точки в точку з координатою уздовж довільної траєкторії.
Для визначення роботи, виконаної полем під час переміщення тіла масою з точки у точку на відрізку шляху настільки короткому, що відрізок ламаної лінії співпадає з реальним відрізком траєкторії, використаємо вираз (4.1):
Оскільки сила однозначно задається координатою тіла і в будь-якій точці траєкторії ця сила напрямлена до точки , зручніше знайти .
З рисунка 13 видно2, що – зміні відстані тіла від центра під час переміщення на відрізку . Таким чином:
(4.16)
Повна робота, виконана полем під час переміщення тіла з точки з координатою в точку , дорівнює:
(4.17)
З виразу (4.17) видно, що величина роботи не залежить від вигляду траєкторії, а визначається лише величинами, що характеризують кінцеву і початкову точки траєкторії.
Таким чином, робота дорівнює зміні потенціальної енергії тіла . Вище згадувалось, що потенціальна енергія визначається з точністю до певної сталої. Уникнути даної невизначеності можна, врахувавши наступне. Сила взаємодії тіл за умови прямує до нуля. Логічно припустити, що при , а тому з виразу (4.17) можна вважати, що
(4.18)
Величина у виразі (4.18) негативна. Пояснення цьому достатньо просте. Оскільки при , тіло звільняється від дії сил притягання і стає вільним. Тому ця енергія найбільша, бо досягнення даного стану можливе лише за рахунок подолання всіх сил взаємного притягання між тілами. Тобто, за скінченних потенціальна енергія повинна бути меншою від нуля (тіло перебуває у зв’язаному стані).
Відзначимо також, що є одночасно і потенціальною енергією тіла масою у гравітаційному полі, створеному тілом масою .