Кодування чисел та знаків в комп’ютерах

В ККС для виконання операцій числа кодуються спеціальними машинними кодами - прямий, обернений, додатковий та модифікований коди. Розглянемо як двійкові числа зображаються цими кодами.

Прямий код. Вираз для створення прямого коду двійкового числа

X = 0, α ₁, α ₂,α ₃... α _n має вигляд:

х, якщо х ≥ 0

Х_пр =

1 – х, якщо х ≤ 0

Приклад 1. Х₁ = + 0,1101, Х_пр = 0,1101

Х₂ = -0,10101, Х_пр = 1- (0,10101) = 1,10101

Обернений код. Вираз для створення цього коду такий

х, якщо х ≥ 0

Х_об =

10 + х – 10 ⁿ, якщо х ≤ 0

Приклад 2. Х = - 0,100110

Х_об. = 10 – 0,100110 – 0,000001 = 1,011001

Порівнюючи число X з його Х_об, можна вивести таке правило: щоб записати від'ємне число в оберненому коді, потрібно у знаковому розряді цього числа поставити „1", а у числових розрядах „0", замінити на „1", а „1" на „0".

Приклад 3. Х = 0,110110, Х_об = 0,110110

Отже, для додатних чисел X = Х_об

Додатковий код. Вираз для створення додаткового коду двійкового числа X такий:

х, якщо х ≥ 0

Х_дод =

10 + х, якщо х < 0

Приклад 4. X = -0,101010, Х_дод = 10 + (- 0,101010) = 1,010110

Порівнюючи число X з його Х_дод. Можна вивести правило: щоб записати від'ємне число у додатковому коді потрібно його записати спочатку у оберненому коді, а потім до молодшого розряду отриманого результату додати „1".

Для додатних чисел X = Х_дод

Приклад 5. X = 0,1011101, Х_дод = 0,1011101

Модифіковані коди. З точки зору побудови АЛП вони є зручними для виявлення переповнення розрядної сітки, які можуть бути отримані при виконанні операції додавання чисел. Ці коди відрізняються від простих машинних кодів тим, що на зображення знаку відводиться два розряди : „+" - зображається „00", а „-" - зображається „11”. Перетворення двійкових чисел у модифіковані прямий, обернений та додатковий коди виконуються за правилами, які були розглянуті раніше.

Приклад 6. X₁ = + 0,1101101, Х₂ = - 0,1101101 записати у додатковому та оберненому модифікованих кодах.

X_{1 прм} = 00,1101101, X_{1 об}._м = 00,1101101, Х_{1 дод. м} = 00,1101101

Х_{2 прм} = 11,1101101, Х_2о6._м = 11.1101101, Х_{2 дод. м} = 11,1101101

Перетворення чисел в заданий код здійснюється автоматично як при введенні чисел в ЕОМ, так і при виконанні операцій.

Алгоритми виконання операцій додавання і віднімання двійкових чисел

Алгоритми виконання операцій додавання і віднімання в позиційній однорідній системі числення з основою k відповідає алгоритмам в звичайній десятковій системі числення.

Результати операцій додавання / віднімання цифр х та у в одному розряді представляються двома цифрами:

• цифрою q результат операції у даному розряді;

• цифрою р перенесення в старшому розряді.

Правила формування цифр q та р для будь-якого k можна записати наступним чином.

а) для додавання б) для віднімання

x + y, якщо х + у < k x - y, якщо х ≥ у

q = q =

х + у – k, якщо х + у ≥ k k + х – у, якщо х < у

0, якщо х + у < k 0, якщо х ≥ у

р = р =

1, якщо х + у ≥ k - 1, якщо х < у

Функції q (x, y) та р (х, у) для операцій додавання/віднімання для k =2 можна представити таблично, рис. 1

а) додавання б) віднімання

рис.1

Оскільки при виконанні операцій додавання / віднімання може виникнути переповнення розрядної сітки, тобто результат буде сформовано неправильно, тому використовують модифіковані коди. Особливістю цих кодів є наявність двох знакових розрядів, у яких знак відображається двома однаковими цифрами. Ці цифри обробляються при виконанні також як і числові розряди. Поява в знакових розрядах модифікованого коду різних цифр"01" або „10" свідчать про переповнення розрядної сітки.

Приклад 1. х = -9 у = -3

Х_прм = 11,1001; У_прм = 11,0011

Х_об.м = 11,0110; У_об.м = 11,1100

Х_об._м – 11,0110

+ +

У_об._м – 11,1100

11,0010

циклічний перенос + 1

Z_об.м – 11,0011

Запишемо результат Z_об. ^м у прямому коді, використовуючи правила перетворення із оберненого коду в прямий.

Z_прm = 11,1100 це відповідає числу-12.

При виконанні модифікованого додаткового коду може з'явитися така комбінація 11.000...0 - це фіксується як переповнення розрядної сітки, тому що отримане число не вміщається в розрядній сітці.

Приклад 2. х = -7 у = -9 z = -16

Х_прм= 11,0111, У_прм= 11,1001

Х_дк,м – 11,1001

+ +

У_дкм - 11,0111

Z_дкм - 11,0000

Бачимо, що для представлення числа -16 потрібно 5 двійкових розрядів.

Z_дкм - 11,0000

Z_п.к.м - 11,01111

____ + 1

11,10000, що відповідає числу -16.

Слід відмітити, що модифікований код дозволяє формувати вірний знак результату навіть при появі переповнення. Цей знак зберігається у другому (старшому) знаковому розряді.

01 - свідчать про позитивне переповнення розрядної сітки

10 - свідчать про від'ємне переповнення розрядної сітки.

Алгоритм додавання / віднімання чисел з фіксованою комою у прямих та додаткових кодах розглянемо на прикладах.

Приклад 3. х = ±15, у = ±7

а) х + у Х_прм = Х_дкм = 00,01111 У_прм = У_д.к.м = 00,00111

z = 22

00,01111

+

00,00111

00.10110, що відповідає числу 22.

b) х - у; Х_д.к.м = 00,01111; У _д.к.м = 11,11001

z = 8

в ідкидається 1

00,0111

+

11,11001

Z_п.к.м = 00,01000, що відповідає +8

с) - х + у ; Х_д.к.м = 11,10001; У _д.к.м = 00,00111

z = - 8

11,10001

+

00,00111

Z_п.к.м = 11,11000 → Z_np._м = 11,01000, що відповідає -8

d) –x - y; Х_д.к.м = 11,10001; У _д.к.м = 11,11001;

z = -22

відкидається 1

11,10001

+

11,11001

Z_п.к.^м = 11,01010 → Z_np.^м = 11,10110, що відповідає -22

Алгоритм додавання/ віднімання чисел з ,,блукаючою" комою будемо

розглядати для k = 2, тоді операнди X та У можна записати так X = 2^А х, У = 2­^Ву, де А, В порядок операндів; X, У, які представлені „m" розрядами;

Мантиси х та у є n - розрядні правильні нормалізовані дроби, тобто 1/2≤|х|<1, 1/2≤|у|<1.

Операція додавання (віднімання) з „блукаючою комою" здійснюється в декілька етапів:

• вирівнюються порядки доданків; молодший порядок збільшується до більшого, при цьому відбувається корекція мантиси числа, яке перетворюється;

• виконується перетворення мантис в додаткові коди;

• виконується додавання мантис за правилами, які розглядались для чисел з фіксованою комою;

— до отриманої суми дописується порядок доданків і якщо буде потрібно виконується нормалізація результату. Можливі два випадки денормалізації:

а) денормалізація вліво відповідає переповненню розрядної сітки;

б) денормалізація вправо, яка виникає, коли у прямому коді мантиси після коми є один або декілька нульових розрядів.

Приклад 4. Потрібно додати два числа X = + 0,10101 ∙ 10¹⁰¹; У = - 0,11001 ∙ 10⁰¹¹ - Вирівнюємо порядок числа В до порядку числа А

У = - 0,0011001 ∙ 10⁺¹⁰¹

Оскільки

Р_Хдоп.м = 00,101

+

Р_Удоп.м = 11,101

00, 010

Р_х > Р_у на 2, то виконуємо зсув вправо на 2р. мантиси числа У.

— Додаємо мантиси чисел X та У в модифікованому додатковому коді:

Х_дм = 00,1010100

+

У_лм = 11,1100111

00,0111011 це прямий код додатної мантиси.

Результат отримали в ненормалізованій формі, оскільки після коми розряд мантиси має нульове значення. Для нормалізації цього числа необхідно зсунути всі розряди мантиси вліво на один розряд та зменшити на одиницю значення порядку.

Запишемо результат: 00,1110110 • 10¹⁰⁰

Цей результат буде розміщено в розрядній сітці обчислювального пристрою.