1.7.5. Схемы с несогласованным стабилизирующим оператором

При аппроксимации частных производных, вида , несимметричными разностными операторами , получаются схемы, которые реализуются пятиточечными прогонками. Для получения стационарного решения методом установления можно использовать схемы, в которых стабилизирующий оператор аппроксимируется одним порядком, а правая часть другим. При установлении аппроксимация разностной схемы выбирается по аппроксимации правой части. Это позволяет строить разностные схемы, которые реализуются трехточечными прогонками.

Рассматривается недивергентная система уравнений Навье-Стокса, которая аппроксимируется факторизованной схемой.

. (1)

. (2)

, – расщепляющий оператор.

Схема (2) решается -точечными прогонками и погрешность ее аппроксимации

,

– порядок аппроксимации стабилизирующего оператора.

При установлении, порядок аппроксимации может быть больше, чем у стабилизирующего оператора.

Оператор называется согласованным, если , несогласованным, если .

Рассмотрим схему с несогласованным оператором . Эта схема по-прежнему остается безусловно устойчивой, но запас устойчивости уменьшился.

Характеристическое уравнение имеет вид:

.

, – волновое число.

.

Два других корня находят в предельном случае.

: а) – гиперзвук, .

б) – медленные течения,

,

где

.

1. Таким образом, схема (2) безусловно устойчива при в случае согласованного стабилизирующего оператора, и при в случае несогласованного стабилизирующего оператора.

2. В многомерном случае схема приближенной факторизации с несогласованным стабилизирующим оператором становится условно устойчивой.

1.7.6. Схемы для решения стационарных задач

При решении стационарных задач уравнений газовой динамики и Навье-Стокса используется два подхода:

1. Непосредственное интегрирование системы стационарных уравнений.

2. Интегрирование некоторой аппроксимирующей системы, решение которой стремится к решению исходной стационарной системы.

Использование первого подхода не представляет особых трудностей для решения одномерных систем уравнений, т.к. одномерные системы стационарных уравнений являются системой ОДУ, хотя и нелинейные. В многомерном случае получается система уравнений в частных производных, тип которых зависит от режима течений. Как правило, для уравнений газовой динамики при сверхзвуковом течении - система эллиптическая , для параболизованных систем Навье-Стокса – система параболического или эллиптического типа.

Решение уравнений, особенно эллиптического типа, представляет значительные трудности. Поэтому экономичнее использовать второй подход для решения систем (стационарных), основанных на итерационных методах. В уравнения добавляют итерационное слагаемое, временной параметр – итерация, и методом установления решается система уравнений, которая сходится к исходной системе.

Такой метод хорош тем, что он используется для любого типа течений.

Рассмотрим этот метод на примере простейших модельных уравнений. Рассмотрим слагаемые, описывающие диффузию:

. (1)

. ???? (2)

– номер итерации.

В результате установления должно получиться:

.

.

Итерационная схема (2) аппроксимирует (1) уже при установлении , а на одной итерации (2) аппроксимирует совсем не уравнение (1).

К числителю дроби, стоящей в правой части (2) прибавим и отнимем . Получим:

На каждом шаге схема (2) аппроксимирует задачу:

.

Схема (2) безусловно устойчива. Устойчивость исследуем методом гармоник.

.

Получим:

, так как .

Таким образом, схема (2) действительно безусловно устойчива.

Расчет по схеме (2) тоже несложный:

.

Можно строить итерационные схемы, которые также являются безусловно устойчивыми, например:

. (3)

(3) считается по неявной схеме бегущего счета.

В работах Саульева предложены схемы для решения уравнения теплопроводности с использованием расщепления, например:

(4)

Схема Саульева безусловно устойчива, аппроксимирует со вторым порядком.

– при установлении, что можно проверить, исключив дробные шаги:

.

Используя, что

,

получим

– аппроксимирует со вторым порядком по времени.

Каждое уравнение реализуется по схеме бегущего счета: первое уравнение – справа налево, а второе наоборот.

Рассмотрим уравнение:

. (1.1)

Добавляем итерационное слагаемое:

.

Эта система аппроксимирует (1.1) с .

Рассмотрим нестационарную систему уравнений:

.

Если вектор потока расщепить: , то можно строить монотонные схемы.

.

Получим многошаговую итерационную схему:

Здесь используется условие монотонности и схема Саульева.

После линеаризации векторов (по формуле Тейлора):

и использования этого разложения в исходной схеме, получаем схему, которая реализуется с помощью бегущего счета:

Первое уравнение – бегущий счет справа налево, второе уравнение – наоборот.