1.3.1. Безразмерные величины. Понятие критериев подобия
Рассмотренная система уравнений Навье-Стокса, выражающая основные законы сохранения, инвариантна его отношению к преобразованию координат. Но можно изменять параметры, используя масштабирование, то есть используя различные комбинации зависимых и независимых переменных. При этом описываются целые классы течений.
Для задач внешнего обтекания в качестве величин, с которыми сравниваются параметры потока. Выбираются следующие:
параметры потока на
(там
поток постоянный).
– характерный
размер.
Здесь можно пронормировать и работать со следующими параметрами:
Находя безразмерные параметры, можно получить размерные.
Рассмотрим системы Навье-Стокса в одномерном случае.
.
Тогда имеем систему:
Первые два уравнения можно упростить:
Подставляя все параметры (через безразмерные) в уравнения Навье-Стокса, получим:
Число Маха.
Оно не только классифицирует течения, но и влияет на физико-математические характеристики течения. То есть если известно, что нестационарные течения имеют гиперболический характер, то стационарные течения зависят от числа Маха.
– гиперболические,
– эллиптические.
Задача. Течение в канале переменного сечения (сопла Лаваля). Рассматриваются одномерные течения совершенного газа, описанные системой:
– переменные
параметры,
.
Итерации выполняются до того, как:
.
Решать методом расщепления.
1.3.2. Преобразования уравнений системы. Переход к недивергентной форме записи уравнений Навье-Стокса в различных исходных газодинамических переменных
. (1)
Рассмотрим
новый вектор состояний потока
,
взаимообратный
.
Перейдем
в уравнении (1) к
:
.
– матрица
Якоби.
Матрица обратима, то есть
.
Умножим
уравнение (1) на матрицу
.
.
(2)
– недивергентная форма.
.
.
Например, если
,
то
Теперь все подставим в уравнение (2):
где 
.
Получим новую систему уравнений Навье-Стокса в недивергентной форме.
Рассмотрим
виды этой системы уравнений в зависимости
от вектора
.
Рассмотрим вначале одномерный случай:
а)
.
.
.
.
.
.
.
.
Видим, что матрицы совпадают с точностью до знака. Это связано с записью тензора напряжений.
.
.
в трехмерном случае
;
.
В многомерном случае:
.
б)
В
этом случае меняются коэффициенты
и
.
Тогда в этом случае:
.
Уравнение энергии:
Используя уравнение неразрывности:
.
Преобразуем уравнение энергии:
.
в)
.
1.3.3. Схемы расщепления по пространственным переменным и физическим процессам для уравнения недивергентной формы
. (1)
Из уравнения (1) имеем
– по пространственным переменным
.
.
.
В
зависимости от выбора вектора состояний
получаем различные матрицы
и различные цепочки расщепленных
операторов.
1.3.4. Различные модельные уравнения, получающиеся из полной системы уравнений Навье-Стокса
Виды систем:
линеаризованная система уравнений Навье-Стокса
модель вязкой несжимаемой жидкости
упрощенные модели системы уравнений Навье-Стокса.
Линеаризованная система уравнений Навье-Стокса.
Пусть
известно решение
.
В течение вносятся малые возмущения.
Уравнение неразрывности:
Так
как
,
то имеем линеаризованную систему
уравнений Навье-Стокса:
– линеаризованное
уравнение
Аналогично и остальные уравнения:
(*)
Эта система может быть решена аналитически.
Если
,
то можно опустить уравнение энергии.
Тогда система (*) запишется так:
Если
течение невязкое
,
то получаем системы уравнений газовой
динамики, которую можно записать в виде:
где
.
Если
,
то получим уравнение акустики.
– гиперболическое
уравнение второго порядка, к которому
сводится уравнение акустики.
Модель вязкой несжимаемой жидкости.
Уравнение неразрывности:
:
.