1.3.8. Краевые условия для задач внешнего обтекания

Рассматривается в пространстве система непересекающихся тел , которые могут как покоиться, так и двигаться.

.

Тела ограниченны кусочно-непрерывными поверхностями:

– дополнение пространства.

В этом дополнении задано начальное состояние потока.

.

И задается система:

Ставятся следующие условия:

1. Условие равномерности потока на бесконечности.

.

2. На границе тел , если учитывать вязкость (три механизма диссипации), ставится условие прилипания:

,

где  – скорость движения частиц вблизи поверхности,  – скорость движения поверхности.

- где – скорость отсоса газа.

3. Для температуры

 – более сложное распределение, где .

4. Граничные условия на выходной границе:

.

Это мягкие граничные условия. В основном берут .

1.4. Разностные схемы для модельных уравнений

1.4.1. Основные понятия теории разностных схем

1.4.2. Рассмотрим модельные уравнения:

. (1)

. (2)

. (3)

. (4)

Исследуем на устойчивость явную схему для уравнения (1).

Пусть . Выбираем гармонику (1.1)

, здесь

.

и подставляем ее в уравнение.

Тогда схема (1.1) примет вид:

Схема неустойчива.

Для того, чтобы схема стала устойчивой, необходимо учитывать знак числа :

. (1.2)

Аналогично, как и в предыдущем примере, получим

при выполнении условия Куранта-Фридрихса-Леви:

–( класс условно устойчивых схем).

Рассмотрим исходную схему , тогда ее можно преобразовать в следующую схему Лакса:

(1.3)

Схема (1.3) условно устойчива.

Для схемы (2) с диссипативным слагаемым, выпишем условно устойчивую схему:

(2.1)

Запишем схемы Лакса-Вендрофа и Маккормака (схемы второго порядка аппроксимации). Это схемы типа «предиктор-корректор»

Схема Лакса-Вендрофа:

.

Если , то получим схему со вторым порядком аппроксимации. Неудобство этой схемы – дробный шаг по времени.

Разложим функции в ряд Тейлора

Пусть , то получим:

.

Имеем .

Схема Лакса-Вендрофа условно устойчива. Условие устойчивости совпадает с условием устойчивости схем (1) и (2):

.

Схема Маккормака для нелинейного уравнения (3):

Порядок аппроксимации: и схема условно устойчива.

1.4.3. Безусловно устойчивые разностные схемы

Замечания. Схема Маккормака в целых шагах совпадает со схемой Лакса-Вендрофа. Поэтому условия аппроксимации у нее такие же, как и у схемы Лакса-Вендрофа.

Явные схемы налагают ограничения на временной шаг, что становится неэкономичным.

Поэтому более экономичные – безусловно устойчивые разностные схемы.

Схема бегущего счета ( промежуточная схема )

Рассмотрим уравнение (1)

и для него построим схему (1)

Шаблон используемый в схеме следующий:

Выражая значения на верхнем временном слое имеем

.

Данная схема будет безусловно устойчивой, так как изначально она неявная. По арифметическим затратам она эквивалентна явной схеме. Недостаток: . Если это условие не выполняется, то расчет усложняется.