1. Общая задача оптимизации. Понятие, постановка задач линейного программирования

Многие проблемы производства, проектирования, прогнозирования сводятся к широкому классу задач оптимизации, для решения которых применяются математические методы. Типовыми задачами такого плана являются, например, следующие:

- ассортимент продукции – максимизация выпуска товаров при ограничениях на сырье для производства этих товаров;

- штатное расписание – составление штатного расписания для достижения наилучших результатов при наименьших расходах;

- планирование перевозок – минимизация затрат на транспортировку товаров;

- составление смеси – достижение заданного качества смеси при наименьших расходах;

- размер емкости – определение размеров некоторой емкости с учетом стоимости материала для достижения максимального объема;

- случайные величины – различные задачи, в которые входят случайные величины;

- прочие разнообразные задачи оптимального распределения ресурсов и оптимального проектирования и т.д.

Построение математической модели задачи

Работа по решению некоторой оптимизационной задачи всегда начинается с построения математической модели, для чего необходимо ответить на следующие вопросы:

- каковы переменные модели (для определения каких величин строится модель);

- в чем состоит цель, для достижения которой из множества всех допустимых значений переменных выбираются оптимальные;

- каким ограничениям должны удовлетворять неизвестные.

Таким образом, на данном этапе делаются выводы об исходных данных (детерминированные или случайные), искомых переменных (непрерывные или дискретные), о пределах, в которых могут находиться значения искомых величин, о зависимостях между переменными (линейные или нелинейные), о критериях, по которым необходимо находить оптимальное решение. Сюда же входит преодоление несовместности, а также неограниченности целевой функции: при максимизации целевой функции область допустимых решений должна быть ограничена сверху, при минимизации – ограничена снизу.

Стоит также учесть, что при конструировании модели формулировка ограничений является самой ответственной частью конструкции. В некоторых случаях ограничения очевидны, например, ограничение на количество сырья. Другие же могут быть менее очевидны и могут быть указаны неверно. Например:

- в модели с несколькими периодами времени величина материального ресурса на начало следующего периода должна равняться величине этого ресурса на конец предыдущего периода;

- в модели поставок величина запаса на начало периода плюс количество полученного должна равняться величине запаса на конец периода плюс количество отправленного;

- многие величины в модели по своему физическому смыслу не могут быть отрицательными, например, количество полученных единиц товара.

Задачу оптимизации в общем виде можно сформулировать следующим образом (табл. 1).

Решение задачи (п. 1-3), удовлетворяющее всем ограничениям и граничным условиям, называется допустимым. Важная характеристика задачи оптимизации – ее размерность, которая определяется числом переменных n и числом ограничений m. При n < m задачи решения не имеют.

Необходимым требованием задач оптимизации является условие n > m. Систему уравнений, для которых n = m рассматривают как задачу оптимизации, имеющую одно допустимое решение (ее можно решать как обычную задачу оптимизации, назначая в качестве целевой функции любую переменную).

Таблица 1

Постановка задачи оптимизации в общем случае

№ п/п	Название	Математическая запись	Описание
1	Целевая функция (критерий оптимизации)	F = f (xj)  max (min, const)	Показывает, в каком смысле решение должно быть оптимальным, т.е. наилучшим. Возможны три вида целевой функции: максимизация, минимизация, назначение заданного значения
2	Ограничения	– целые (для задач целочисленного программирования); – для задач с булевыми переменными	Устанавливают зависимости между переменными. Могут быть односторонними и двусторонними. При решении задач двустороннее ограничение записывается в виде двух односторонних
3	Граничные условия		Показывают, в каких пределах могут быть значения искомых переменных в оптимальном решении

Итак, задача имеет оптимальное решение, если она удовлетворяет двум требованиям:

- имеет более одного решения, т.е. существуют допустимые решения;

- имеется критерий, показывающий, в каком смысле принимаемое решение должно быть оптимальным, т.е. наилучшим из допустимых.

В MS Excel существует возможность с помощью надстройки Поиск решения найти решение, оптимальное в некотором смысле при нескольких входных значениях и наборе ограничений на решение. Диспетчер сценариев способен запомнить несколько решений, найденных данным средством и сгенерировать на этой основе отчет. С помощью надстройки Поиск решения можно решать как линейные задачи (задачи линейного, целочисленного и стохастического программирования), так и нелинейные (задачи нелинейного программирования).