- •Содержание
- •Введение
- •1. Общая задача оптимизации. Понятие, постановка задач линейного программирования
- •Построение математической модели задачи
- •Надстройка Поиск решения
- •2. Рекомендации по решению задач оптимизации с помощью надстройки Поиск решения в ms Excel Решение задачи с помощью надстройки Поиск решения
- •Анализ решения задачи оптимизации
- •2.1. Технология компьютерной реализации злп. Задача
- •2.2. Специализированные задачи линейного программирования Транспортная задача
- •Задача о назначениях
- •Искомые параметры
- •Создание формы для решения задачи
- •Ввод исходных данных
- •Ввод граничных условий
- •Назначение целевой функции
- •5. Ввод зависимостей из математической модели
- •6. Ввод ограничений задачи
- •7. Ввод параметров
- •2.3. Задачи линейного программирования. Задача об оптимальном использовании ограниченных производственных ресурсов
- •Данные условия задачи
- •Экономико-математическая модель
- •Описание отчетов о решении задачи
- •3. Двойственность в задачах линейного программирования. Анализ полученных оптимальных решений
- •Создание отчёта по результатам поиска решения
- •Отчет по устойчивости
- •4. Нелинейное программирование
- •Решение системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными с помощью средства Поиск решения
- •5. Балансовые модели
- •5.1. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)
- •5.2. Межотраслевые балансовые модели в анализе экономических показателей
- •5.3. Модель международной торговли
- •5.4. Модель Неймана
- •Экономические модели и статистические методы Основы математической статистики
- •Использование инструментов Пакета анализа
- •6.1. Проверка статистических гипотез
- •Принятие статистических решений
- •Анализ одной выборки
- •Использование инструмента Пакет анализа для выявления различий между выборками
- •6.2. Дисперсионный анализ
- •6.3. Корреляционный анализ
- •Коэффициент корреляции
- •Корреляционная матрица
- •6.4. Регрессионный анализ
- •7. Возможные ошибки при вводе условий задач линейного программирования
- •Глоссарий
- •Библиографический список
- •Приложение
- •1. Печать всего рабочего листа:
- •2. Печать фрагмента рабочего листа:
- •3. Печать одной диаграммы:
- •Оптимизационные экономико-математические и эконометрические модели. Выполнение расчетов в среде excel
- •656049, Г. Барнаул, пр. Красноармейский, 98
Описание отчетов о решении задачи
Отчет по результатам: таблица Целевая ячейка выводит сведения о целевой функции; таблица Изменяемые ячейки показывает значение искомых переменных, полученных в результате решения задачи; таблица Ограничения отображает результаты оптимального решения для ограничений и для граничных условий. В поле Формула приведены зависимости, которые были введены в окно Поиск решения, в поле Разница – величины использованного материала. Если материал используется полностью, то в поле Статус указывается связанное, при неполном использовании материала в этом поле указывается не связан. Для граничных условий приводятся аналогичные величины с той лишь разницей, что вместо величины неиспользованного продукта показана разность между значением переменной в найденном оптимальном решении и заданным для нее граничным условием.
Отчет по устойчивости содержит информацию о том, насколько полученное решение устойчиво при изменениях в коэффициентах целевой функции и ограничениях. В графе Изменяемые ячейки приводятся рассчитанные значения искомых переменных и их двойственных оценок. Для каждой переменной рассчитывается показатель Нормированная стоимость (в Excel 7.0 – «редуцированная стоимость») – коэффициент, показывающий, насколько изменяется целевая функция при изменении соответствующей переменной (т.е. при ее принудительном включении в оптимальный план) на одну единицу. В этой же графе приводятся оценки для предельных приращений коэффициентов целевой функции (допустимое увеличение и допустимое уменьшение), при которых возможно корректное применение показателя «нормированная стоимость», а также сохраняется оптимальное решение (т.е. сохраняется структура оптимального плана).
В графе Ограничения приводятся аналогичные значения и двойственные оценки для ограничений оптимизационной задачи. Теневая цена – коэффициент, показывающий, насколько изменяется целевая функция при изменении соответствующего ресурса (ограничения) на единицу. В столбцах Допустимое увеличение и Допустимое уменьшение приводятся предельные значения приращений ресурсов, при которых номенклатура оптимального плана сохраняется (остаются переменные, вошедшие в базис) и возможно корректное применение показателя «теневая цена».
Отчет по пределам – в отчете показано, в каких пределах может изменяться количество материалов, вошедших в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения; приводятся значения переменных в оптимальном решении, а также нижние и верхние пределы изменения значений переменных; здесь также указаны значения целевой функции при выпуске данного типа продукции на верхнем и нижнем пределах.
3. Двойственность в задачах линейного программирования. Анализ полученных оптимальных решений
В 1975 г. наш соотечественник Л.В. Канторович был удостоен Нобелевской премии по экономике (совместно с американским экономистом Т. Купмансом) за разработку теории оптимального использования ресурсов. С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной; первоначальная задача называется исходной, или прямой. Связь исходной и двойственной задач заключается, в частности, в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой.
Переменные двойственной задачи yi называются объективно обусловленными оценками (или двойственными оценками, «ценами» ресурсов, теневыми ценами).
Каждая из задач двойственной пары фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо от другой.
Двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно следующим правилам:
1) целевая функция исходной задачи формулируется на максимум, а целевая функция двойственной задачи – на минимум, при этом в задаче на максимум все неравенства в функциональных ограничениях имеют вид (≤), в задаче на минимум вид (≥);
2) матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений исходной задачи, и аналогичная матрица АТ в двойственной задаче получаются друг из друга транспонированием;
3) число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений исходной задачи, а число ограничений в системе двойственной задачи – числу переменных в исходной;
4) коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи, а правыми частями в ограничениях двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной;
5) каждому ограничению одной задачи соответствует переменная другой задачи, номер переменной совпадает с номером ограничения. При этом ограничению, записанному в виде неравенства ≤, соответствует переменная, связанная условием неотрицательности. Если функциональное ограничение исходной задачи является равенством, то соответствующая переменная двойственной задачи может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Модель исходной (прямой) задачи в общем виде может быть записана следующим образом:
, (10)
(11)
а модель двойственной задачи –
(12)
(13)
Решая ЗЛП симплекс-методом, мы одновременно решаем двойственную ЗЛП. Переменные двойственной задачи yί называют объективно обусловленными оценками.
Рассмотрим анализ оптимального решения на основе примера 1. Решение произведено с использованием MS Excel (Поиск решения) и представлено на рисунке 13.