5.3. Модель международной торговли

В модели международной торговли процесс взаим­ных закупок товаров анализируется с использованием понятий собственного числа и собственного вектора матрицы А. Будем по­лагать, что бюджеты п стран, которые мы обозначим, соответственно, x₁, х₂, ..., х_п, расходуются на покупку товаров. Обозначим:

х_i – национальный доход страны i;

а_ij – доля национального дохода страны j, которую она рас­ходует на закупку товаров страны i;

р_i – общая выручка страны от внутренней и внешней тор­говли.

Предположим, что государство расходует весь свой нацио­нальный доход на закупку товаров внутри страны и на импорт из других стран. Это означает, что

Матрица А, элементами которой являются коэффициенты а_ij,называется структурной матрицей торговли. Сумма элементов каждого столбца этой матрицы равна единице.

Предположим, что в течение некоторого фиксированного про­межутка времени не меняется структура международной торговли (т.е. структурная матрица торговли остается постоянной), тогда как национальные доходы торгующих стран могут измениться. Тре­буется определить, какими могут быть национальные доходы, чтобы международная торговля осталась сбалансированной, т.е. что­бы сумма платежей всех государств была равна суммарной выручке от внешней и внутренней торговли.

Для любой страны выручка от внутренней и внешней торгов­ли составит

В сбалансированной системе международной торговли не дол­жно быть дефицита, т.е. у каждой страны выручка от торговли должна быть не меньше ее национального дохода:

Последнее неравенство справедливо только в случае, когда т.е. у всех торгующих стран выручка от внешней и внутренней торговли должна совпадать с национальным доходом. В матричной записи это означает, что имеет место равенство: , где А – структурная матрица международной торговли, а Х – вектор национальных доходов.

Вектор Х является собственным вектором структурной матри­цы торговли А, а соответствующее собственное значение равно единице. Отсюда следует, что баланс в международной торговле будет достигнут, если собственное значение структурной матрицы международной торговли равно единице, а вектор национальных доходов торгующих стран является собственным вектором, отве­чающим этому единичному собственному значению.

Пример 6. Требуется найти национальные доходы Х₁, Х₂, Х_з торгующих стран в сбалансированной системе международной торговли. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид

.

Решение. Найдем собственный вектор Х, отвечающий собственному зна­чению λ = 1, решив уравнение (А - λЕ) = 0. Система уравнений имеет вид

.

С помощью метода Жордана-Гаусса найдем общее решение этой системы

Из приведенных вычислений следует, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных доходов Х = (2,25с; 2,5с; с), т.е. при соотношении национальных доходов стран 2,25:2,5:1, или 9:10:4.

5.4. Модель Неймана

Модель Неймана является обобщенной моделью Леонтьева, поскольку допускает производство одного продукта разными способами (в модели Леонтьева каждая отрасль производит один продукт и никакая другая отрасль не может производить этот продукт).

В модели представлено п продуктов и т способов их произ­водства, каждый способ j задается вектором-столбцом затрат a_j и вектором-столбцом выпусков b_j в расчете на единицу интен­сивности процесса

, .

Из векторов затрат и выпуска образуются матрицы затрат и выпуска

А = (a₁, a₂, …, a_m), В = (b₁, b₂, ..., b_m).

Коэффициенты затрат a_ij и выпуска b_ij неотрицательны. Пред­положим, что для реализации любого процесса необходимы затраты хотя бы одного продукта, т.е. для каждого j найдется хотя бы одно i, такое что

a_ij > 0, (31)

и каждый продукт может быть произведён хотя бы одним способом, т.е. для каждого i существует некоторое j, такое что

b_ij>0. (32)

Из (31) и (32) следует, что каждый столбец матрицы А и каждая строка матрицы В должны иметь по крайней мере один положительный элемент.

Обозначим через x_t неотрицательный вектор-столбец интенсивности производственных процессов

,

а через р_t – вектор-строку неотрицательных цен p_t = (p₁(t), p₂(t),…, p_m(t)).

Вектор у_t = Аx_t – это вектор затрат при заданном векторе интенсивности процессов x_t, а вектор z_t = Bx_t – вектор выпусков.

Модель Неймана описывает замкнутую экономику в том смысле, что для производства продукции в следующем производственном цикле, т.е. в год (t –1):

Ах_t ≤ Вх_t-1, x_t > 0, . (32)

При этом предполагается, что задан первоначальный вектор запасов Вх₀ ≥ 0, Вх₀ ≠ 0. Система (32) – это модель Неймана в натуральной форме.